12. Вычислить площадь основания (SΔABC) и объём пирамиды с вершинами в точках A(−2; −1; −4), B(−4; −3; 0), C(−3; −2; 3), D(0; 2; −2).

Найдём векторы \(\overrightarrow{AB}=(-2,-2,4)\) и \(\overrightarrow{AC}=(-1,-1,7)\).

\[\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-10,10,0),\qquad |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=10\sqrt{2}.\]

Поэтому площадь основания:

\[S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot10\sqrt{2}=5\sqrt{2}.\]

Вектор \(\overrightarrow{AD}=(2,3,2)\). Объём пирамиды:

\[V=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{AD}\cdot(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\right|.\]

\[\overrightarrow{AD}\cdot(-10,10,0)=2\cdot(-10)+3\cdot10=10.\]

\[V=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}.\]

Ответ: \(S_{\triangle ABC}=5\sqrt{2}\), объём пирамиды \(V=\frac{5}{3}\).