12. Вычислите длины сторон параллелограмма, если известно, что периметр параллелограмма равен 24 см (рис. 26). 1) В параллелограмме MNPK проведены диагональ NK и отрезок MF, причём MF ⟂ NK, ∠FMK = 30°, FK = 2 см. 2) В параллелограмме ABCD проведены диагональ AC и отрезок BF, причём BF ⟂ AC, ∠BAC = 60°, AF = 3 см. 3) В параллелограмме PFKТ? [обозначения вершин: P, F, K, N, T на рисунке; F лежит на PK] проведена диагональ TF, FK = 4 см; дугой отмечен угол между FT и PK, равный углу между TF и PK?

В рисунке 3 обозначения и отметка угла читаются неоднозначно: вершины параллелограмма обозначены P, K, N, T, а F лежит на стороне PK; дуга показывает угол между FT и PK, но численное значение угла не указано. Поэтому пункт 3 определить однозначно нельзя. Для него нужны точные данные об отмеченном угле или дополнительное условие.

1) Пусть стороны параллелограмма равны a = MN = PK и b = NP = MK. Из периметра: 2(a + b) = 24, поэтому a + b = 12.

Треугольник MFK прямоугольный, ∠FMK = 30°, FK = 2 см — сторона напротив угла 30°. В прямоугольном треугольнике она равна половине гипотенузы, значит MK = 4 см. Тогда MN = 12 − 4 = 8 см.

2) Пусть AB = CD = a и BC = AD = b. Тогда a + b = 12. В прямоугольном треугольнике ABF угол F равен 90°, ∠BAF = 60°, AF = 3 см. Поскольку AF прилежит к углу 60°, cos 60° = AF/AB = 3/a, откуда AB = 6 см. Следовательно, AD = 12 − 6 = 6 см.

Ответ: 1) стороны 4 см и 8 см; 2) стороны 6 см и 6 см. Для пункта 3 нужны уточнённые обозначения и значение отмеченного угла или другое недостающее условие.