12. Вычислите, не пользуясь калькулятором:

Вычисление выражения:

Нам нужно вычислить значение следующего выражения: \( \frac{\sqrt{6}+1}{\sqrt{6}-2} - \frac{3-\sqrt{6}}{15/4} \cdot \frac{4}{12(\sqrt{6}+11)} \)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обработаем первую дробь: \( \frac{\sqrt{6}+1}{\sqrt{6}-2} \)
• Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{6}+2 \):
• \( \frac{(\sqrt{6}+1)(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{6 + 2\sqrt{6} + \sqrt{6} + 2}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \frac{8 + 3\sqrt{6}}{6 - 4} = \frac{8 + 3\sqrt{6}}{2} \)
2. Шаг 2: Обработаем вторую часть выражения: \( \frac{3-\sqrt{6}}{15/4} \cdot \frac{4}{12(\sqrt{6}+11)} \)
• Упростим \( \frac{15}{4} \): \( \frac{3-\sqrt{6}}{15/4} = \frac{4(3-\sqrt{6})}{15} \)
• Теперь умножим: \( \frac{4(3-\sqrt{6})}{15} \cdot \frac{4}{12(\sqrt{6}+11)} = \frac{16(3-\sqrt{6})}{180(\sqrt{6}+11)} = \frac{4(3-\sqrt{6})}{45(\sqrt{6}+11)} \)
• Рационализируем знаменатель, умножив на \( \sqrt{6}-11 \):
• \( \frac{4(3-\sqrt{6})(\sqrt{6}-11)}{45(\sqrt{6}+11)(\sqrt{6}-11)} = \frac{4(3\sqrt{6}-33-6+11\sqrt{6})}{45(6-121)} = \frac{4(14\sqrt{6}-39)}{45(-115)} = \frac{4(39-14\sqrt{6})}{5175} \)
3. Шаг 3: Теперь вычтем второе выражение из первого: \( \frac{8 + 3\sqrt{6}}{2} - \frac{4(39-14\sqrt{6})}{5175} \)
• Приведем к общему знаменателю \( 5175 \):
• \( \frac{(8 + 3\sqrt{6}) \cdot 2587.5}{5175} - \frac{4(39-14\sqrt{6})}{5175} \)
• \( \frac{20700 + 7762.5\sqrt{6} - 156 + 56\sqrt{6}}{5175} = \frac{20544 + 7818.5\sqrt{6}}{5175} \)

Ответ: Вычисление этого выражения приводит к сложному результату, который, вероятно, предполагает ошибку в исходных данных или требует дальнейшего упрощения, выходящего за рамки стандартных учебных задач. При стандартном решении получается: \( \frac{20544 + 7818.5\sqrt{6}}{5175} \).