12. Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и СН = 3. Найдите высоту ромба.

Решение:

Дано:

Ромб ABCD, AH — высота.

CD = DH + CH = 12 + 3 = 15.

DH = 12, CH = 3.

Найти: AH.

В ромбе все стороны равны, значит, CD = AD = 15.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADH. В нём AH — катет, DH — катет, AD — гипотенуза.

По теореме Пифагора для треугольника ADH:

\[ AH^2 + DH^2 = AD^2 \]

Подставим известные значения:

\[ AH^2 + 12^2 = 15^2 \]
\[ AH^2 + 144 = 225 \]

Найдем AH^2:

\[ AH^2 = 225 - 144 \]
\[ AH^2 = 81 \]

Найдём AH:

\[ AH = \sqrt{81} = 9 \]

Ответ: 9.