12. Является ли четырёхугольник ABCD на рисунке параллелограммом, если: а) ∠1 = 75°, ∠3 = 105°, ∠2 ≠ ∠4; б) ∠1 = ∠2 = 70°, ∠3 = 105°?

а) ∠1 + ∠3 = 75° + 105° = 180°. Эти углы являются односторонними внутренними при пересечении прямых AB и CD секущей AD, поэтому AB ∥ CD.

Если бы AD ∥ BC, то соответствующие углы были бы равны: ∠1 = ∠4. Но по условию ∠2 ≠ ∠4, а ∠1 и ∠2 — вертикальные? В данном рисунке из условия следует, что ∠1 = ∠4 при AB ∥ CD, поэтому AD и BC не являются параллельными. Следовательно, четырёхугольник ABCD не является параллелограммом.

б) ∠1 = ∠2 = 70°. Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых AD и BC секущей AB, поэтому AD ∥ BC.

Для параллельности AB и CD при секущей AD односторонние внутренние углы ∠1 и ∠3 должны в сумме составлять 180°. Но ∠1 + ∠3 = 70° + 105° = 175° ≠ 180°. Значит, AB не параллельна CD.

Следовательно, в обоих случаях четырёхугольник ABCD не является параллелограммом.

Ответ: а) нет; б) нет.