1201. Вычислите:

Решение:

Для вычисления степеней с целым показателем будем использовать свойства степеней.

a) \( 8^{-2} \cdot 4^3 \)

Приведем основания к одному виду. \( 8 = 2^3 \) и \( 4 = 2^2 \).

\( 8^{-2} \cdot 4^3 = (2^3)^{-2} \cdot (2^2)^3 = 2^{3 \cdot (-2)} \cdot 2^{2 \cdot 3} = 2^{-6} \cdot 2^6 \)

Используем свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):

\( 2^{-6} \cdot 2^6 = 2^{-6+6} = 2^0 = 1 \)

Ответ: 1

б) \( 9^{-6} \cdot 27^5 \)

Приведем основания к одному виду. \( 9 = 3^2 \) и \( 27 = 3^3 \).

\( 9^{-6} \cdot 27^5 = (3^2)^{-6} \cdot (3^3)^5 = 3^{2 \cdot (-6)} \cdot 3^{3 \cdot 5} = 3^{-12} \cdot 3^{15} \)

Используем свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):

\( 3^{-12} \cdot 3^{15} = 3^{-12+15} = 3^3 = 27 \)

Ответ: 27

в) \( 10^0 : 10^{-3} \)

Любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1. \( 10^0 = 1 \).

\( 10^0 : 10^{-3} = 1 : 10^{-3} \)

Деление на степень с отрицательным показателем равно умножению на эту степень с положительным показателем. \( \frac{1}{a^{-n}} = a^n \).

\( 1 : 10^{-3} = 1 \cdot 10^3 = 1000 \)

Ответ: 1000

г) \( 125^4 : 25^5 \)

Приведем основания к одному виду. \( 125 = 5^3 \) и \( 25 = 5^2 \).

\( 125^4 : 25^5 = (5^3)^4 : (5^2)^5 = 5^{3 \cdot 4} : 5^{2 \cdot 5} = 5^{12} : 5^{10} \)

Используем свойство \( a^m : a^n = a^{m-n} \):

\( 5^{12} : 5^{10} = 5^{12-10} = 5^2 = 25 \)

Ответ: 25

д) \( \frac{4^{-6} \cdot 4^{-5}}{2^{-21}} \)

Приведем основания к одному виду. \( 4 = 2^2 \).

\( \frac{4^{-6} \cdot 4^{-5}}{2^{-21}} = \frac{(2^2)^{-6} \cdot (2^2)^{-5}}{2^{-21}} = \frac{2^{2 \cdot (-6)} \cdot 2^{2 \cdot (-5)}}{2^{-21}} = \frac{2^{-12} \cdot 2^{-10}}{2^{-21}} \)

Используем свойства \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( \frac{2^{-12} \cdot 2^{-10}}{2^{-21}} = \frac{2^{-12-10}}{2^{-21}} = \frac{2^{-22}}{2^{-21}} = 2^{-22 - (-21)} = 2^{-22+21} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( \frac{1}{2} \)

е) \( 4^{-2} \cdot 8^{-6} \)

Приведем основания к одному виду. \( 4 = 2^2 \) и \( 8 = 2^3 \).

\( 4^{-2} \cdot 8^{-6} = (2^2)^{-2} \cdot (2^3)^{-6} = 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^{3 \cdot (-6)} = 2^{-4} \cdot 2^{-18} \)

Используем свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \):

\( 2^{-4} \cdot 2^{-18} = 2^{-4-18} = 2^{-22} = \frac{1}{2^{22}} \)

Ответ: \( \frac{1}{2^{22}} \)

ж) \( \frac{(-3)^2}{3^{-10} \cdot 9^8} \)

Приведем основания к одному виду. \( 9 = 3^2 \). \( (-3)^2 = 3^2 \).

\( \frac{(-3)^2}{3^{-10} \cdot 9^8} = \frac{3^2}{3^{-10} \cdot (3^2)^8} = \frac{3^2}{3^{-10} \cdot 3^{16}} \)

Используем свойства \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( \frac{3^2}{3^{-10+16}} = \frac{3^2}{3^6} = 3^{2-6} = 3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} \)

Ответ: \( \frac{1}{81} \)

3) \( \frac{125^3}{5^{-5} \cdot 25^{10}} \)

Приведем основания к одному виду. \( 125 = 5^3 \) и \( 25 = 5^2 \).

\( \frac{125^3}{5^{-5} \cdot 25^{10}} = \frac{(5^3)^3}{5^{-5} \cdot (5^2)^{10}} = \frac{5^{3 \cdot 3}}{5^{-5} \cdot 5^{2 \cdot 10}} = \frac{5^9}{5^{-5} \cdot 5^{20}} \)

Используем свойства \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( \frac{5^9}{5^{-5+20}} = \frac{5^9}{5^{15}} = 5^{9-15} = 5^{-6} = \frac{1}{5^6} = \frac{1}{15625} \)

Ответ: \( \frac{1}{15625} \)