1208. Найдите значение выражения: a) 0,2a^-2b⁴ ⋅ 5a³b^-3 при a = -0,125, b = 8; б) \(\frac{1}{27}\)a^-1b^-5 ⋅ 81a²b⁴ при a = \(\frac{1}{7}\), b = \(\frac{1}{14}\).

Решение:

Для решения задач такого типа сначала упростим выражение, а затем подставим значения переменных.

а) Упрощение выражения:

• Исходное выражение: \( 0.2a^{-2}b^4 ∙ 5a^3b^{-3} \)
• Перегруппируем множители: \( (0.2 ∙ 5) ∙ (a^{-2} ∙ a^3) ∙ (b^4 ∙ b^{-3}) \)
• Умножаем коэффициенты: \( 0.2 ∙ 5 = 1 \)
• Складываем степени при одинаковых основаниях для 'a': \( a^{-2} ∙ a^3 = a^{-2+3} = a^1 = a \)
• Складываем степени при одинаковых основаниях для 'b': \( b^4 ∙ b^{-3} = b^{4-3} = b^1 = b \)
• Упрощенное выражение: \( 1 ∙ a ∙ b = ab \)

а) Подстановка значений:

• Дано: \( a = -0.125 \), \( b = 8 \)
• Подставляем в упрощенное выражение: \( ab = (-0.125) ∙ 8 \)
• Вычисляем: \( -0.125 ∙ 8 = -1 \)

б) Упрощение выражения:

• Исходное выражение: \( \frac{1}{27}a^{-1}b^{-5} ∙ 81a^2b^4 \)
• Перегруппируем множители: \( \frac{81}{27} ∙ (a^{-1} ∙ a^2) ∙ (b^{-5} ∙ b^4) \)
• Упрощаем дробь: \( \frac{81}{27} = 3 \)
• Складываем степени для 'a': \( a^{-1} ∙ a^2 = a^{-1+2} = a^1 = a \)
• Складываем степени для 'b': \( b^{-5} ∙ b^4 = b^{-5+4} = b^{-1} = \frac{1}{b} \)
• Упрощенное выражение: \( 3 ∙ a ∙ \frac{1}{b} = \frac{3a}{b} \)

б) Подстановка значений:

• Дано: \( a = \frac{1}{7} \), \( b = \frac{1}{14} \)
• Подставляем в упрощенное выражение: \( \frac{3a}{b} = \frac{3 ∙ \frac{1}{7}}{\frac{1}{14}} \)
• Вычисляем числитель: \( 3 ∙ \frac{1}{7} = \frac{3}{7} \)
• Делим дроби: \( \frac{\frac{3}{7}}{\frac{1}{14}} = \frac{3}{7} ∙ \frac{14}{1} \)
• Упрощаем: \( \frac{3 ∙ 14}{7 ∙ 1} = \frac{42}{7} = 6 \)

Ответ:

• а) -1
• б) 6