(№ 1208) У исполнителя Альфа две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 2; 2. умножь на b (b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2) Выполняя первую из них, Альфа увеличивает число на экране на 2, а выполняя вторую, умножает это число на b. Известно, что программа 12121 переводит число 3 в число 194. Определите значение b.

Решение:

Программа 12121 означает последовательное выполнение команд:

1. 1: прибавь 2
2. 2: умножь на b
3. 1: прибавь 2
4. 2: умножь на b
5. 1: прибавь 2

Начнём с числа 3 и применим команды:

• Шаг 1: 3 + 2 = 5
• Шаг 2: 5 * b = 5b
• Шаг 3: 5b + 2
• Шаг 4: (5b + 2) * b = 5b² + 2b
• Шаг 5: 5b² + 2b + 2

По условию, после выполнения программы число стало равно 194. Составим уравнение:

\( 5b^2 + 2b + 2 = 194 \)

\( 5b^2 + 2b - 192 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-192) = 4 + 3840 = 3844 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{3844} = 62 \).

Найдём корни:

\( b_1 = \frac{-2 + 62}{2 \cdot 5} = \frac{60}{10} = 6 \)

\( b_2 = \frac{-2 - 62}{2 \cdot 5} = \frac{-64}{10} = -6.4 \)

По условию, \( b \) — натуральное число и \( b \geq 2 \). Поэтому подходит только \( b = 6 \).

Ответ: 6