121. Выполните действия: а) $\left(a-\frac{a^2}{a+b}\right)\cdot\left(\frac{a}{b^2}-\frac{1}{a}\right)$; б) $\left(\frac{b}{c}+\frac{b^2}{c^2}\right):\left(\frac{b}{c}-\frac{c}{b}\right)$; г) $\left(\frac{2z}{2-z}-\frac{z}{2}\right):\left(1+\frac{z^2+4}{2z-4}\right)$; д) $\left(a-1-\frac{3}{a+1}\right)\cdot\left(\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a^2-4}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 121. Выполните действия: а) $\left(a-\frac{a^2}{a+b}\right)\cdot\left(\frac{a}{b^2}-\frac{1}{a}\right)$; б)…$ Фото задания

121. Выполните действия: а) $\left(a-\frac{a^2}{a+b}\right)\cdot\left(\frac{a}{b^2}-\frac{1}{a}\right)$; б) $\left(\frac{b}{c}+\frac{b^2}{c^2}\right):\left(\frac{b}{c}-\frac{c}{b}\right)$; г) $\left(\frac{2z}{2-z}-\frac{z}{2}\right):\left(1+\frac{z^2+4}{2z-4}\right)$; д) $\left(a-1-\frac{3}{a+1}\right)\cdot\left(\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a^2-4}\right)$.

Accepted Answer

а) Упростим множители:
$a-\frac{a^2}{a+b}=\frac{a(a+b)-a^2}{a+b}=\frac{ab}{a+b}$.
$\frac{a}{b^2}-\frac{1}{a}=\frac{a^2-b^2}{ab^2}=\frac{(a-b)(a+b)}{ab^2}$.
Перемножим и сократим общие множители:
$\frac{ab}{a+b}\cdot\frac{(a-b)(a+b)}{ab^2}=\frac{a-b}{b}$.
б) Представим сумму в первой скобке и разность во второй в виде дробей:
$\frac{b}{c}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{b(b+c)}{c^2}$, $\frac{b}{c}-\frac{c}{b}=\frac{b^2-c^2}{bc}=\frac{(b-c)(b+c)}{bc}$.
Деление заменим умножением на обратную дробь:
$\frac{b(b+c)}{c^2}\cdot\frac{bc}{(b-c)(b+c)}=\frac{b^2}{c(b-c)}$.
г) Упростим каждую скобку:
$\frac{2z}{2-z}-\frac{z}{2}=\frac{4z-z(2-z)}{2(2-z)}=\frac{z(z+2)}{2(2-z)}$.
$1+\frac{z^2+4}{2z-4}=1+\frac{z^2+4}{2(z-2)}=\frac{2(z-2)+z^2+4}{2(z-2)}=\frac{z(z+2)}{2(z-2)}$.
Разделим первую скобку на вторую:
$\frac{z(z+2)}{2(2-z)}\cdot\frac{2(z-2)}{z(z+2)}=-1$, так как $2-z=-(z-2)$.
д) Преобразуем первую скобку:
$a-1-\frac{3}{a+1}=\frac{(a-1)(a+1)-3}{a+1}=\frac{a^2-4}{a+1}=a-3$.
Во второй скобке разложим разность квадратов:
$\frac{1}{a-2}-\frac{1}{a^2-4}=\frac{a+2-1}{(a-2)(a+2)}=\frac{a+1}{(a-2)(a+2)}=\frac{1}{a-2}$.
Перемножим: $(a-3)\cdot\frac{1}{a-2}=\frac{a-3}{a-2}$.

Ответ: а) $\frac{a-b}{b}$; б) $\frac{b^2}{c(b-c)}$; г) $-1$; д) $\frac{a-3}{a-2}$.

В исходных выражениях знаменатели и делители должны быть определены и ненулевые. Поэтому дополнительно: а) $a\ne0, b\ne0, a+b\ne0$; б) $b\ne0, c\ne0, b^2\ne c^2$; г) $z\ne2, z\ne0, z\ne-2$; д) $a\ne-1, a\ne2, a\ne-2$.