122. Постройте график функции $y=-x^2+2x+8$ и найдите, используя график: а) значение функции при $x=2,5; -0,5; -3$; б) значения аргумента, при которых $y=6; 0; -2$; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, область значений функции.

Question

Вопрос: $Фото задания: 122. Постройте график функции $y=-x^2+2x+8$ и найдите, используя график: а) значение функции при $x=2,5; -0,5; -3$; б)…$ Фото задания

122. Постройте график функции $y=-x^2+2x+8$ и найдите, используя график: а) значение функции при $x=2,5; -0,5; -3$; б) значения аргумента, при которых $y=6; 0; -2$; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, область значений функции.

Accepted Answer

Преобразуем формулу:

\[y=-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9.\]

Это парабола, ветви направлены вниз; вершина $V(1;9)$, ось симметрии $x=1$.

а) Значения функции:

$y(2.5)=-(2.5)^2+2\cdot2.5+8=6.75$;
$y(-0.5)=-(-0.5)^2+2\cdot(-0.5)+8=6.75$;
$y(-3)=-9-6+8=-7$.

б) Находим значения аргумента:

$y=6$: $-(x-1)^2+9=6$, поэтому $x=1\pm\sqrt3$;
$y=0$: $-(x-1)^2+9=0$, поэтому $x=-2$ или $x=4$;
$y=-2$: $(x-1)^2=11$, поэтому $x=1\pm\sqrt{11}$.

в) Нули функции: $x=-2$ и $x=4$. Так как ветви параболы направлены вниз, $y>0$ при $x\in(-2;4)$, а $y<0$ при $x\in(-\infty;-2)\cup(4;+e2)$.

г) Функция возрастает на $(-e2;1)$ и убывает на $(1;+e2)$. Область значений: $(-e2;9]$.

Ответ: а) $6.75;6.75;-7$; б) $1\pm\sqrt3;\ -2,4;\ 1\pm\sqrt{11}$; в) нули $-2,4$, положительна на $(-2;4)$, отрицательна на $(-e2;-2)\cup(4;+e2)$; г) возрастает на $(-e2;1)$, убывает на $(1;+e2)$, область значений $(-e2;9]$.