123. а) На сторонах AB, BC, CD, AD квадрата ABCD отмечены соответственно точки P, M, E и K так, что AP = BM = CE = DK = 3 см, ∠APK = 60°. Найдите периметр четырёхугольника PMEK.

Пусть сторона квадрата равна x см. В прямоугольном треугольнике APK: AP = 3 см, а ∠PAK = 90° и ∠APK = 60°, поэтому ∠AKP = 30°.

1. В треугольнике 30°–60°–90° катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, PK = 6 см, а AK = 3√3 см.
2. Так как DK = 3 см, сторона квадрата AD = AK + DK = 3√3 + 3 см.
3. По условию AP = BM = CE = DK, поэтому на каждой стороне квадрата отрезки, оставшиеся после этих частей, имеют длину 3√3 см.
4. Каждая сторона четырёхугольника PMEK — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 3√3 см. Следовательно, PM = ME = EK = KP = √(3² + (3√3)²) = 6 см.

Периметр PMEK = 4 · 6 = 24 см.

Ответ: 24 см.