123. Постройте график функции $y=2x^2+8x+2$ и найдите, используя график: а) значение $y$ при $x=-2,3; -0,5; 1,2$; б) значения $x$, при которых $y=-4; -1; 1,7$; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Question

Вопрос: $Фото задания: 123. Постройте график функции $y=2x^2+8x+2$ и найдите, используя график: а) значение $y$ при $x=-2,3; -0,5; 1,2$; б)…$ Фото задания

123. Постройте график функции $y=2x^2+8x+2$ и найдите, используя график: а) значение $y$ при $x=-2,3; -0,5; 1,2$; б) значения $x$, при которых $y=-4; -1; 1,7$; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Accepted Answer

Преобразуем формулу:

\[y=2x^2+8x+2=2(x+2)^2-6.\]

Парабола направлена вверх; вершина $V(-2;-6)$, ось симметрии $x=-2$.

а)

$y(-2.3)=2(-0.3)^2-6=-5.82$;
$y(-0.5)=2(1.5)^2-6=-1.5$;
$y(1.2)=2(3.2)^2-6=14.48$.

б)

При $y=-4$: $2(x+2)^2-6=-4$, поэтому $x=-3$ или $x=-1$;
при $y=-1$: $(x+2)^2=2.5$, поэтому $x=-2\pm\sqrt{2.5}$;
при $y=1.7$: $(x+2)^2=3.85$, поэтому $x=-2\pm\sqrt{3.85}$.

в) Нули функции:

\[2(x+2)^2-6=0,\qquad (x+2)^2=3,\]

поэтому $x=-2\pm\sqrt3$. Функция положительна при $x\in(-\infty;-2-e2sqrt3)\cup(-2+\sqrt3;+e2)$, отрицательна при $x\in(-2-e2sqrt3;-2+\sqrt3)$.

г) Функция убывает на $(-e2;-2)$ и возрастает на $(-2;+e2)$. Наименьшее значение функции равно $-6$ при $x=-2$.

Ответ: а) $-5.82;-1.5;14.48$; б) $-3,-1$; $-2\pm\sqrt{2.5}$; $-2\pm\sqrt{3.85}$; в) нули $-2\pm\sqrt3$, знак «+» вне корней, знак «−» между ними; г) убывает на $(-e2;-2)$, возрастает на $(-2;+e2)$, минимум $-6$.