124. Постройте график функции и опишите её свойства: а) \(y=\frac{1}{3}x^2-4x+4\); б) \(y=-\frac{1}{4}x^2+x-1\); в) \(y=x^2+3x\).

Для каждой квадратичной функции график — парабола. Найдём вершину по формуле \(x_0=-\frac{b}{2a}\), затем укажем направление ветвей, нули и промежутки монотонности. Графики всех трёх функций приведены в общей системе координат.

а) \(y=\frac{1}{3}x^2-4x+4\). Здесь \(a=\frac13>0\), поэтому ветви направлены вверх. Вершина имеет абсциссу \(x_0=6\), а ордината равна \(y(6)=-8\). Следовательно, вершина — \((6,-8)\), ось симметрии — \(x=6\), область значений — \([-8,+\infty)\). Нули: \(x=6\pm2\sqrt6\). Функция убывает на \((-\infty,6]\) и возрастает на \([6,+\infty)\).

б) \(y=-\frac{1}{4}x^2+x-1\). Здесь \(a=-\frac14<0\), поэтому ветви направлены вниз. Вершина — \((2,0)\), ось симметрии — \(x=2\), наибольшее значение равно 0, область значений — \((-\infty,0]\). Единственный нуль — \(x=2\) (корень кратности 2). Функция возрастает на \((-\infty,2]\) и убывает на \([2,+\infty)\).

в) \(y=x^2+3x\). Здесь \(a=1>0\), поэтому ветви направлены вверх. Вершина — \((-\frac32,-\frac94)\), ось симметрии — \(x=-\frac32\), область значений — \([-\frac94,+\infty)\). Нули: \(x=-3\) и \(x=0\). Функция убывает на \((-\infty,-\frac32]\) и возрастает на \([-\frac32,+\infty)\).

Ответ: Свойства каждой функции и вершины её графика указаны выше.