124. Постройте график функции и опишите её свойства: а) \(y=\frac13x^2-4x+4\); б) \(y=-\frac14x^2+x-1\); в) \(y=x^2+3x\).

Для каждой функции выделим полный квадрат. Это позволяет определить вершину параболы, направление её ветвей и основные свойства.

а) \(y=\frac13x^2-4x+4=\frac13(x-6)^2-8\).

Вершина параболы — \((6;-8)\), ось симметрии — \(x=6\), ветви направлены вверх. Область определения — все действительные числа; область значений — \([-8; +\infty)\). Функция убывает на \(( -\infty;6]\), возрастает на \([6; +\infty)\). Нули: \(x=6\pm2\sqrt6\). Функция положительна при \(x<6-2\sqrt6\) и \(x>6+2\sqrt6\), отрицательна между нулями.

б) \(y=-\frac14x^2+x-1=-\frac14(x-2)^2\).

Вершина — \((2;0)\), ось симметрии — \(x=2\), ветви направлены вниз. Область определения — все действительные числа; область значений — \(( -\infty;0]\). Функция возрастает на \(( -\infty;2]\), убывает на \([2; +\infty)\). Единственный нуль — \(x=2\); график касается оси \(Ox\) в вершине. Функция отрицательна при \(x\ne2\).

в) \(y=x^2+3x=(x+\frac32)^2-\frac94\).

Вершина — \((-\frac32;-\frac94)\), ось симметрии — \(x=-\frac32\), ветви направлены вверх. Область определения — все действительные числа; область значений — \([-\frac94; +\infty)\). Функция убывает на \(( -\infty;-\frac32]\), возрастает на \([-\frac32; +\infty)\). Нули: \(x=-3\) и \(x=0\). Функция положительна при \(x<-3\) и \(x>0\), отрицательна при \(-3