124. Решите уравнения: а) $3^{4x+10}\cdot 5^{6x+2}=15^{5x+6}$; б) $\left(\frac12\right)^{2x-1}\cdot\left(\frac16\right)^{2x-1}=\left(\frac1{12}\right)^{4x+1}$; в) $2^x\cdot5^x=10^{3x+1}$; г) $7^{4x+3}\cdot3^{4x+3}=21^{2x-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 124. Решите уравнения: а) $3^{4x+10}\cdot 5^{6x+2}=15^{5x+6}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Разложим правую часть по основаниям 3 и 5: $15^{5x+6}=3^{5x+6}\cdot5^{5x+6}$. Тогда
$3^{4x+10}\cdot5^{6x+2}=3^{5x+6}\cdot5^{5x+6}$.
Из единственности разложения на простые множители приравниваем показатели степеней с одинаковыми основаниями:
$4x+10=5x+6$, откуда $x=4$.
Проверка по степеням пятёрки: $6x+2=5x+6$, также получаем $x=4$.
б) Перемножим основания слева, поскольку показатели одинаковы:
$\left(\frac12\right)^{2x-1}\cdot\left(\frac16\right)^{2x-1}=\left(\frac1{12}\right)^{2x-1}$.
Основания равны и не равны 1, поэтому приравниваем показатели: $2x-1=4x+1$. Тогда $-2x=2$, откуда $x=-1$.
в) Объединим степени с одинаковым показателем: $2^x\cdot5^x=10^x$. Тогда $10^x=10^{3x+1}$, значит, $x=3x+1$. Отсюда $x=-\frac12$.
г) Объединим степени с одинаковым показателем: $7^{4x+3}\cdot3^{4x+3}=21^{4x+3}$. Получаем $21^{4x+3}=21^{2x-1}$, поэтому $4x+3=2x-1$. Отсюда $x=-2$.

Ответ: а) $4$; б) $-1$; в) $-\frac12$; г) $-2$.

124. Решите уравнения: а) \(3^{4x+10}\cdot 5^{6x+2}=15^{5x+6}\); б) \(\left(\frac12\right)^{2x-1}\cdot\left(\frac16\right)^{2x-1}=\left(\frac1{12}\right)^{4x+1}\); в) \(2^x\cdot5^x=10^{3x+1}\); г) \(7^{4x+3}\cdot3^{4x+3}=21^{2x-1}\).