124. Упростите выражения: а) $\left(\frac{x}{x+2}+1\right)\cdot\frac{2+x}{3x+1}$; б) $\left(\frac{3a}{a+1}-a\right):\frac{2-a}{(a+1)^2}$; в) $\frac{x^2-y^2}{y^3}\cdot\left(1-\frac{x-y}{x+y}\right)$; г) $\frac{x-1}{x-2}\cdot\left(x+\frac{x}{1-x}\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 124. Упростите выражения: а) $\left(\frac{x}{x+2}+1\right)\cdot\frac{2+x}{3x+1}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Сложим дроби в скобках: $\frac{x}{x+2}+1=\frac{2x+2}{x+2}=\frac{2(x+1)}{x+2}$.

Умножим и сократим: $\frac{2(x+1)}{x+2}\cdot\frac{x+2}{3x+1}=\frac{2(x+1)}{3x+1}$.

б) Приведём выражение в первых скобках к общему знаменателю: $\frac{3a}{a+1}-a=\frac{3a-a(a+1)}{a+1}=\frac{a(2-a)}{a+1}$.

Разделим на дробь, умножив на обратную: $\frac{a(2-a)}{a+1}\cdot\frac{(a+1)^2}{2-a}=a(a+1)$.

в) Разложим разность квадратов и упростим скобки: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, $1-\frac{x-y}{x+y}=\frac{2y}{x+y}$.

Тогда $\frac{(x-y)(x+y)}{y^3}\cdot\frac{2y}{x+y}=\frac{2(x-y)}{y^2}$.

г) Упростим скобки: $x+\frac{x}{1-x}=\frac{x(1-x)+x}{1-x}=\frac{x(2-x)}{1-x}$.

Так как $\frac{x-1}{1-x}=-1$ и $\frac{2-x}{x-2}=-1$, получаем $\frac{x-1}{x-2}\cdot\frac{x(2-x)}{1-x}=x$.

Ответ: а) $\frac{2(x+1)}{3x+1}$; б) $a(a+1)$; в) $\frac{2(x-y)}{y^2}$; г) $x$.

Ограничения исходных выражений: а) $x\ne-2$, $x\ne-\frac13$; б) $a\ne-1$, $a\ne2$; в) $y\ne0$, $x+y\ne0$; г) $x\ne2$, $x\ne1$.

124. Упростите выражения: а) \(\left(\frac{x}{x+2}+1\right)\cdot\frac{2+x}{3x+1}\); б) \(\left(\frac{3a}{a+1}-a\right):\frac{2-a}{(a+1)^2}\); в) \(\frac{x^2-y^2}{y^3}\cdot\left(1-\frac{x-y}{x+y}\right)\); г) \(\frac{x-1}{x-2}\cdot\left(x+\frac{x}{1-x}\right)\).