1243. Найдите координаты вершины параболы и уравнение её оси симметрии, если функция задана формулой: a) y = x² - 6x + 8; б) y = -x² + 8x - 10; в) y = 2x² - 5x + 6; г) y = -4x² + 2x - 5.

Решение:

Для нахождения координат вершины параболы \( y = ax^2 + bx + c \) и уравнения оси симметрии воспользуемся следующими формулами:

• Координата x вершины: \( x_в = -\frac{b}{2a} \)
• Координата y вершины: \( y_в = y(x_в) \)
• Уравнение оси симметрии: \( x = x_в \)

а) \( y = x^2 - 6x + 8 \)

• \( a = 1, b = -6, c = 8 \)
• \( x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \)
• \( y_в = (3)^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \)
• Ось симметрии: \( x = 3 \)

б) \( y = -x^2 + 8x - 10 \)

• \( a = -1, b = 8, c = -10 \)
• \( x_в = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = -\frac{8}{-2} = 4 \)
• \( y_в = -(4)^2 + 8(4) - 10 = -16 + 32 - 10 = 6 \)
• Ось симметрии: \( x = 4 \)

в) \( y = 2x^2 - 5x + 6 \)

• \( a = 2, b = -5, c = 6 \)
• \( x_в = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} = 1.25 \)
• \( y_в = 2(1.25)^2 - 5(1.25) + 6 = 2(1.5625) - 6.25 + 6 = 3.125 - 6.25 + 6 = 2.875 \)
• Ось симметрии: \( x = 1.25 \)

г) \( y = -4x^2 + 2x - 5 \)

• \( a = -4, b = 2, c = -5 \)
• \( x_в = -\frac{2}{2 \cdot (-4)} = -\frac{2}{-8} = \frac{1}{4} = 0.25 \)
• \( y_в = -4(0.25)^2 + 2(0.25) - 5 = -4(0.0625) + 0.5 - 5 = -0.25 + 0.5 - 5 = -4.75 \)
• Ось симметрии: \( x = 0.25 \)

Ответ:

• а) Вершина: (3; -1), Ось симметрии: \( x = 3 \)
• б) Вершина: (4; 6), Ось симметрии: \( x = 4 \)
• в) Вершина: (1.25; 2.875), Ось симметрии: \( x = 1.25 \)
• г) Вершина: (0.25; -4.75), Ось симметрии: \( x = 0.25 \)