1249. Найдите решение системы уравнений: a) 4(3x-4y) + 14 = 3(5x + 2y), -2(x -6y) = 5(3x – 4y) – 1; 6) 1-2(x + 2y) = 5x + 12y, 6(x – 4y) = 5(3x + 4y) – 13. Глава 8. Системы линейных уравнений

Привет! Давай разберемся с этими системами уравнений. Я Марина, и я помогу тебе понять, как их решать.

Задание: Найди решение систем уравнений.

Система а)

Сначала раскроем скобки и упростим каждое уравнение:

1. Первое уравнение:
   \[ 4(3x - 4y) + 14 = 3(5x + 2y) \]
   
   Раскрываем скобки:
   \[ 12x - 16y + 14 = 15x + 6y \]
   
   Переносим члены с переменными в одну сторону, а числа — в другую:
   \[ 14 - (15x - 12x) - (6y + 16y) = 0 \]
   \[ 14 - 3x - 22y = 0 \]
   \[ 3x + 22y = 14 \]
2. Второе уравнение:
   \[ -2(x - 6y) = 5(3x - 4y) - 1 \]
   
   Раскрываем скобки:
   \[ -2x + 12y = 15x - 20y - 1 \]
   
   Переносим члены с переменными в одну сторону, а числа — в другую:
   \[ -2x - 15x + 12y + 20y = -1 \]
   \[ -17x + 32y = -1 \]

Теперь у нас получилась новая, упрощенная система:

• \[ \begin{cases} 3x + 22y = 14 \\ -17x + 32y = -1 \end{cases} \]

Будем решать методом подстановки или сложения. Давай умножим первое уравнение на 17, а второе — на 3, чтобы избавиться от x.

• Первое уравнение, умноженное на 17:
  \[ 17 \times (3x + 22y) = 17 \times 14 \]
  \[ 51x + 374y = 238 \]
• Второе уравнение, умноженное на 3:
  \[ 3 \times (-17x + 32y) = 3 \times (-1) \]
  \[ -51x + 96y = -3 \]

Теперь сложим два новых уравнения:

\[ (51x + 374y) + (-51x + 96y) = 238 + (-3) \]
\[ 470y = 235 \]
\[ y = \frac{235}{470} \]
\[ y = \frac{1}{2} \]
\[ y = 0.5 \]

Теперь найдем x, подставив значение y в первое уравнение:

\[ 3x + 22 \times 0.5 = 14 \]
\[ 3x + 11 = 14 \]
\[ 3x = 14 - 11 \]
\[ 3x = 3 \]
\[ x = 1 \]

Ответ для а): \(\newline\)\[ x = 1, \quad y = 0.5 \]

Система б)

Раскроем скобки и упростим:

1. Первое уравнение:
   \[ 1 - 2(x + 2y) = 5x + 12y \]
   
   Раскрываем скобки:
   \[ 1 - 2x - 4y = 5x + 12y \]
   
   Переносим переменные влево, а число вправо:
   \[ -2x - 5x - 4y - 12y = -1 \]
   \[ -7x - 16y = -1 \]
   \[ 7x + 16y = 1 \]
2. Второе уравнение:
   \[ 6(x - 4y) = 5(3x + 4y) - 13 \]
   
   Раскрываем скобки:
   \[ 6x - 24y = 15x + 20y - 13 \]
   
   Переносим переменные влево, а число вправо:
   \[ 6x - 15x - 24y - 20y = -13 \]
   \[ -9x - 44y = -13 \]
   \[ 9x + 44y = 13 \]

Получаем новую систему:

• \[ \begin{cases} 7x + 16y = 1 \\ 9x + 44y = 13 \end{cases} \]

Давай умножим первое уравнение на 9, а второе — на 7, чтобы избавиться от x.

• Первое уравнение, умноженное на 9:
  \[ 9 \times (7x + 16y) = 9 \times 1 \]
  \[ 63x + 144y = 9 \]
• Второе уравнение, умноженное на 7:
  \[ 7 \times (9x + 44y) = 7 \times 13 \]
  \[ 63x + 308y = 91 \]

Теперь вычтем первое новое уравнение из второго:

\[ (63x + 308y) - (63x + 144y) = 91 - 9 \]
\[ 164y = 82 \]
\[ y = \frac{82}{164} \]
\[ y = \frac{1}{2} \]
\[ y = 0.5 \]

Теперь найдем x, подставив значение y в первое уравнение:

\[ 7x + 16 \times 0.5 = 1 \]
\[ 7x + 8 = 1 \]
\[ 7x = 1 - 8 \]
\[ 7x = -7 \]
\[ x = -1 \]

Ответ для б): \(\newline\)\[ x = -1, \quad y = 0.5 \]

Вот и всё! Мы решили обе системы. Если что-то осталось непонятным, спрашивай!