125 В коробке было 2 красных и 3 синих фломастера. Ваня не глядя достал из коробки 2 фломастера, причём оказалось, что среди них есть синий. Какова вероятность, что Ваня достал: а) 2 синих фломастера; б) 1 красный и 1 синий?

Привет! Давай разбираться с этой задачкой про фломастеры.

Дано:

• Всего фломастеров в коробке: 2 красных + 3 синих = 5.
• Ваня достал 2 фломастера.
• Известно, что среди достатых фломастеров есть хотя бы один синий.

Что нужно найти:

Вероятность двух событий:

1. а) Ваня достал 2 синих фломастера.
2. б) Ваня достал 1 красный и 1 синий фломастер.

Разберём все возможные варианты, как Ваня мог достать 2 фломастера из 5:

Сначала найдём общее количество способов выбрать 2 фломастера из 5. Это комбинации, потому что порядок, в котором он их достаёт, не важен. Формула для комбинаций: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Общее количество способов достать 2 фломастера из 5: C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (3 * 2 * 1)) = (5 * 4) / 2 = 10 способов.

Теперь найдём, какие комбинации нам НЕ подходят, учитывая условие «среди них есть синий».

Неподходящий вариант — это когда Ваня достал оба фломастера красными. У нас всего 2 красных фломастера. Сколько способов достать 2 красных фломастера из 2?

C(2, 2) = 2! / (2! * (2-2)!) = 2! / (2! * 0!) = 1 способ (он достанет оба красных).

Итак, сколько у нас всего «подходящих» исходов, где есть хотя бы один синий?

Общее количество исходов - количество исходов, где оба красные = 10 - 1 = 9 исходов.

Это и будет наше новое «общее число исходов» для условной вероятности.

а) Вероятность того, что Ваня достал 2 синих фломастера.

Сколько способов достать 2 синих фломастера из 3 имеющихся синих?

C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3! / (2! * 1!) = (3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * 1) = 3 способа.

Теперь найдём вероятность. У нас 3 благоприятных исхода (2 синих) из 9 возможных (где есть хотя бы один синий).

P(2 синих | есть синий) = (Количество способов достать 2 синих) / (Количество способов достать 2 фломастера, где есть хотя бы один синий) = 3 / 9 = 1/3.

б) Вероятность того, что Ваня достал 1 красный и 1 синий фломастер.

Сколько способов достать 1 красный фломастер из 2 красных? C(2, 1) = 2.

Сколько способов достать 1 синий фломастер из 3 синих? C(3, 1) = 3.

Чтобы получить 1 красный И 1 синий, нужно перемножить эти способы: C(2, 1) * C(3, 1) = 2 * 3 = 6 способов.

Эти 6 способов являются частью наших 9 «подходящих» исходов (где есть хотя бы один синий).

P(1 красный и 1 синий | есть синий) = (Количество способов достать 1 красный и 1 синий) / (Количество способов достать 2 фломастера, где есть хотя бы один синий) = 6 / 9 = 2/3.

Проверка: Сумма вероятностей всех возможных «подходящих» исходов должна быть равна 1. У нас есть два варианта: 2 синих или 1 красный и 1 синий. Вероятность (2 синих) + Вероятность (1 красный и 1 синий) = 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1. Всё сходится!

Ответ:

1. а) Вероятность того, что Ваня достал 2 синих фломастера, равна 1/3.
2. б) Вероятность того, что Ваня достал 1 красный и 1 синий фломастер, равна 2/3.