1262. Сколько корней имеет уравнение: a) x^4 = x + 4: б) x^4 = x - 2?

Решение:

Для решения уравнений вида x⁴ = x + c, где c - константа, мы можем исследовать графики функций y = x⁴ и y = x + c. Количество точек пересечения этих графиков будет соответствовать количеству корней уравнения.

а) x⁴ = x + 4

• Рассмотрим функции: y = x⁴ (график похож на параболу, но более крутой у оси y) и y = x + 4 (прямая линия с угловым коэффициентом 1 и y-перехватом 4).
• График y = x⁴ проходит через точки (0,0), (1,1), (-1,1), (2,16), (-2,16).
• График y = x + 4 проходит через точки (0,4), (1,5), (-1,3), (-2,2), (-3,1), (-4,0).
• При x = -1, x⁴ = 1, x + 4 = 3.
• При x = -2, x⁴ = 16, x + 4 = 2.
• Визуально, или путем подбора значений, можно увидеть, что прямая y = x + 4 пересечет кривую y = x⁴ в двух точках. Одна точка будет отрицательной, другая - положительной.

б) x⁴ = x - 2

• Рассмотрим функции: y = x⁴ и y = x - 2 (прямая линия с угловым коэффициентом 1 и y-перехватом -2).
• График y = x - 2 проходит через точки (0,-2), (1,-1), (2,0), (3,1), (4,2).
• График y = x⁴ всегда неотрицателен (y ≥ 0).
• Прямая y = x - 2 имеет отрицательные значения y для x < 2.
• При x = 0, x⁴ = 0, x - 2 = -2.
• При x = 1, x⁴ = 1, x - 2 = -1.
• При x = 2, x⁴ = 16, x - 2 = 0.
• При x = -1, x⁴ = 1, x - 2 = -3.
• Поскольку минимальное значение x⁴ равно 0, а максимальное значение x-2, при котором x-2 положительно, находится значительно ниже значений x⁴ (например, при x=2, x-2=0, а x⁴=16), графики не пересекаются.

Ответ: а) 2 корня, б) 0 корней.