128. Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Дано: \triangle ABC, \angle ACB = 90^{\circ}, \angle ABC = 30^{\circ}. Доказать: AC = \frac{1}{2} AB. Доказательство. 1) Отметим на луче AC точку D так, что AC = CD (дополнительное построение). 2) \angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} (так как сумма углов треугольника равна 180^{\circ} и \triangle ABC — прямоугольный). \triangle ABC = \triangle DBC (по 2 признакам). \angle CBD = \angle CBA (из п. 2). 3) \angle CBD + \angle CBA = 60^{\circ} (из п. 2). 4) \angle D = \angle A = 60^{\circ} (из п. 2 и п. 3). AB = AD = BD (из п. 2 и п. 3). AC = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} AB. Теорема доказана.

Question

Вопрос:

128. Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Дано: \triangle ABC, \angle ACB = 90^{\circ}, \angle ABC = 30^{\circ}. Доказать: AC = \frac{1}{2} AB. Доказательство. 1) Отметим на луче AC точку D так, что AC = CD (дополнительное построение). 2) \angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} (так как сумма углов треугольника равна 180^{\circ} и \triangle ABC — прямоугольный). \triangle ABC = \triangle DBC (по 2 признакам). \angle CBD = \angle CBA (из п. 2). 3) \angle CBD + \angle CBA = 60^{\circ} (из п. 2). 4) \angle D = \angle A = 60^{\circ} (из п. 2 и п. 3). AB = AD = BD (из п. 2 и п. 3). AC = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} AB. Теорема доказана.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение:

Для доказательства свойства прямоугольного треугольника, где катет напротив угла в 30° равен половине гипотенузы, мы используем построение дополнительной точки и признаки равенства треугольников, чтобы показать равенство сторон.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Анализ условия. Дано прямоугольный треугольник \triangle ABC с \angle ACB = 90^{\circ} и \angle ABC = 30^{\circ}. Необходимо доказать, что катет AC равен половине гипотенузы AB.
Шаг 2: Дополнительное построение. На луче AC отмечаем точку D так, чтобы AC = CD. Соединяем точки B и D.
Шаг 3: Определение углов. В \triangle ABC, \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}.
Шаг 4: Доказательство равенства треугольников. Рассматриваем \triangle ABC и \triangle DBC. У нас есть:
- AC = CD (по построению)
- \angle ACB = \angle DCB = 90^{\circ} (данo)
- CB — общая сторона
Следовательно, \triangle ABC = \triangle DBC по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Шаг 5: Следствия из равенства треугольников. Из равенства треугольников следует, что AB = DB и \angle BAC = \angle BDC = 60^{\circ}.
Шаг 6: Анализ \triangle ABD.
- \angle BAC = 60^{\circ}
- \angle BDC = 60^{\circ}
- \angle CBD = \angle ABC + \angle ABD. Так как \triangle ABC = \triangle DBC, то \angle DBC = \angle ABC = 30^{\circ}.
- \angle ABD = \angle DBC + \angle ABC = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}.
Шаг 7: Вывод о \triangle ABD. Так как все углы \triangle ABD равны 60^{\circ} (\angle A = 60^{\circ}, \angle D = 60^{\circ}, \angle ABD = 60^{\circ}), то \triangle ABD — равносторонний.
Шаг 8: Связь сторон. Из того, что \triangle ABD — равносторонний, следует, что AB = BD = AD.
Шаг 9: Окончательное доказательство. Мы знаем, что AD = AC + CD. Поскольку AC = CD, то AD = 2 * AC. Так как AD = AB (из равностороннего \triangle ABD), то 2 * AC = AB, откуда AC = \frac{1}{2} AB.

Теорема доказана.