13. ∠1 - ∠2 = 30°. AB || DE. ∠ AEB - ? Given a triangle ABC, with point D on AC and point E on BC. ∠ B = ∠ 1 + ∠ 2. ∠ 1 - ∠ 2 = 30°. AB is parallel to DE. ∠ C = 25°.

Задание 13

Дано:

• ∠ 1 - ∠ 2 = 30°.
• AB || DE.
• ∠ C = 25°.

Найти: ∠ AEB.

Решение:

1. Из условия ∠ 1 - ∠ 2 = 30°.

2. В △ ABC, сумма углов равна 180°: ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.

∠ A = ∠ 1 + ∠ 2.

∠ B = ? (неизвестно).

∠ C = 25°.

3. Так как AB || DE, то ∠ BAC = ∠ EDC (соответственные углы при параллельных прямых AB, DE и секущей AC).

∠ BAC = ∠ 1 + ∠ 2.

4. В △ DEC:

∠ EDC = ∠ BAC = ∠ 1 + ∠ 2.

∠ C = 25°.

∠ DEC = 180° - ∠ EDC - ∠ C = 180° - (∠ 1 + ∠ 2) - 25°.

5. ∠ AEB и ∠ DEC - вертикальные углы, значит ∠ AEB = ∠ DEC.

∠ AEB = 180° - (∠ 1 + ∠ 2) - 25°.

6. Нам нужно найти ∠ 1 и ∠ 2.

В △ ABC:

∠ A = ∠ 1 + ∠ 2

∠ C = 25°

∠ B = ?

Пусть ∠ 2 = x. Тогда ∠ 1 = x + 30°.

∠ A = (x + 30°) + x = 2x + 30°.

Сумма углов в △ ABC: (2x + 30°) + ∠ B + 25° = 180°.

∠ B = 180° - 2x - 55° = 125° - 2x.

7. В △ ADE:

AB || DE, значит ∠ BAC = ∠ EDC = 2x + 30°.

∠ ADE = 180° - ∠ EDC = 180° - (2x + 30°) = 150° - 2x.

8. В △ CDE:

∠ CDE = 180° - ∠ EDC = 180° - (2x + 30°) = 150° - 2x.

∠ C = 25°.

∠ CED = 180° - (150° - 2x) - 25° = 180° - 150° + 2x - 25° = 5° + 2x.

∠ AEB = ∠ CED (вертикальные) = 5° + 2x.

9. У нас есть два выражения для ∠ AEB:

∠ AEB = 180° - (∠ 1 + ∠ 2) - 25° = 180° - (2x + 30°) - 25° = 180° - 2x - 30° - 25° = 125° - 2x.

∠ AEB = 5° + 2x.

Приравниваем:

125° - 2x = 5° + 2x.

125° - 5° = 2x + 2x.

120° = 4x.

x = 30°.

Итак, ∠ 2 = 30°.

∠ 1 = x + 30° = 30° + 30° = 60°.

∠ A = ∠ 1 + ∠ 2 = 60° + 30° = 90°.

∠ B = 125° - 2x = 125° - 2(30°) = 125° - 60° = 65°.

Проверка: ∠ A + ∠ B + ∠ C = 90° + 65° + 25° = 180°. Верно.

Теперь находим ∠ AEB, используя ∠ AEB = 5° + 2x:

∠ AEB = 5° + 2(30°) = 5° + 60° = 65°.

Ответ: ∠ AEB = 65°.