13. (1 балл) Прямоугольный треугольник с катетами 24 см и 7 см вращается вокруг большего катета. Определите полученное при вращении треугольника геометрическое тело и найдите площадь его поверхности.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус.

В данном случае вращение происходит вокруг большего катета, который равен 24 см. Этот катет становится высотой конуса \( h \).

\( h = 24 \) см.

Меньший катет, равный 7 см, становится радиусом основания конуса \( r \).

\( r = 7 \) см.

Чтобы найти площадь поверхности конуса, нам нужно найти образующую \( l \). Образующая является гипотенузой прямоугольного треугольника. Найдем её по теореме Пифагора:

\[ l^2 = r^2 + h^2 \]\[ l^2 = 7^2 + 24^2 \]\[ l^2 = 49 + 576 \]\[ l^2 = 625 \]\[ l = \sqrt{625} = 25 \] см.

Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания (круга) и площади боковой поверхности:

\( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \)

Площадь основания: \( S_{осн} = \pi r^2 \)

\[ S_{осн} = \pi \cdot 7^2 = 49\pi \] см².

Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \pi r l \)

\[ S_{бок} = \pi \cdot 7 \cdot 25 = 175\pi \] см².

Полная площадь поверхности конуса:

\[ S_{полн} = 49\pi + 175\pi = 224\pi \] см².

Ответ: Геометрическое тело — конус. Площадь поверхности — \( 224\pi \) см².