13.1. Даны сфера радиусом 6 см и плоскость α. Каким должно быть расстояние от центра сферы до плоскости α, чтобы: 1) сфера и плоскость не имели общих точек; 2) сфера и плоскость имели одну общую точку; 3) пересечением сферы и плоскости являлась окружность; 4) пересечением сферы и плоскости являлась окружность наибольшей возможной длины?

Пусть d — расстояние от центра сферы до плоскости, а R = 6 см — радиус сферы. Если d > R, общих точек нет; если d = R, плоскость касается сферы; если d < R, сечение сферы — окружность радиуса √(R² − d²).

1. Общих точек нет, когда d > 6 см.
2. Одна общая точка получается при d = 6 см.
3. Сечением является окружность при 0 ≤ d < 6 см.
4. Длина окружности сечения наибольшая, когда её радиус наибольший. Это происходит при d = 0 см: плоскость проходит через центр сферы, а радиус сечения равен 6 см. Длина окружности равна 2π · 6 = 12π см.

Ответ: 1) d > 6 см; 2) d = 6 см; 3) 0 ≤ d < 6 см; 4) d = 0 см.