13. 15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на \(r\) процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где \(r\) — целое число; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен составлять сумму по таблице: 15.01 — 1 млн рублей, 15.02 — 0,6 млн рублей, 15.03 — 0,4 млн рублей, 15.04 — 0,3 млн рублей, 15.05 — 0,2 млн рублей, 15.06 — 0,1 млн рублей, 15.07 — 0 млн рублей. Найдите наибольшее значение \(r\), при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Пусть \(t=\frac{r}{100}\). За каждый месяц проценты начисляются на долг, оставшийся на предыдущую контрольную дату. Поэтому общая сумма выплат равна сумме уменьшений долга по таблице и начисленных процентов.

Уменьшение основного долга за весь период составляет \(1-0=1\) млн рублей. Проценты начисляются на остатки \(1; 0{,}6; 0{,}4; 0{,}3; 0{,}2; 0{,}1\) млн рублей. Их сумма равна \(2{,}6\) млн рублей, поэтому общая сумма выплат составляет \(1+2{,}6t=1+2{,}6\cdot\frac{r}{100}\) млн рублей.

Требуется, чтобы \(1+2{,}6\cdot\frac{r}{100}<1{,}2\). Отсюда \(r<\frac{0{,}2\cdot100}{2{,}6}\approx7{,}69\). Поскольку \(r\) — целое число, наибольшее возможное значение — 7. При \(r=7\) выплаты составят 1,182 млн рублей, а при \(r=8\) — 1,208 млн рублей.

Ответ: 7.