13.2.B1.9 a) 2 sin²x cosx + √2 = √2 cos²x б) [π; 5π/2]

Решение:

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону: \( 2\sin^2 x \cos x + \sqrt{2} - \sqrt{2} \cos^2 x = 0 \)
2. Вынесем \( \sqrt{2} \) за скобки: \( 2\sin^2 x \cos x + \sqrt{2} (1 - \cos^2 x) = 0 \)
3. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), следовательно, \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \). Подставим это в уравнение: \( 2\sin^2 x \cos x + \sqrt{2} \sin^2 x = 0 \)
4. Вынесем \( \sin^2 x \) за скобки: \( \sin^2 x (2\cos x + \sqrt{2}) = 0 \)
5. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
• Случай 1: \( \sin^2 x = 0 \)
• \( \sin x = 0 \)
• \( x = \pi k \), где \( k \) — целое число.
• Случай 2: \( 2\cos x + \sqrt{2} = 0 \)
• \( 2\cos x = -\sqrt{2} \)
• \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.
6. Теперь отберём корни, принадлежащие отрезку \( [\pi; \frac{5\pi}{2}] \).
• Для корней \( x = \pi k \):
• Если \( k = 1 \), то \( x = \pi \). Этот корень принадлежит отрезку.
• Если \( k = 2 \), то \( x = 2\pi \). Этот корень принадлежит отрезку.
• Если \( k = 3 \), то \( x = 3\pi \). Этот корень не принадлежит отрезку (так как \( 3\pi > \frac{5\pi}{2} \)).
• Для корней \( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \):
• Рассмотрим \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \):
• Если \( n = 0 \), то \( x = \frac{5\pi}{6} \). Этот корень не принадлежит отрезку (так как \( \frac{5\pi}{6} < \pi \)).
• Если \( n = 1 \), то \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi + 12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку (так как \( \pi \le \frac{17\pi}{6} \le \frac{5\pi}{2} \) <=> \( 1 \le \frac{17}{6} \le 2.5 \) <=> \( 6 \le 17 \le 15 \) — неверно. \( \frac{17\pi}{6} = 2\frac{5}{6}\pi \). \(\frac{5\pi}{2} = 2.5\pi\). \( \frac{17}{6} \approx 2.83 \), поэтому \( \frac{17\pi}{6} > \frac{5\pi}{2} \) и этот корень не принадлежит отрезку.
• Рассмотрим \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \):
• Если \( n = 1 \), то \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{-5\pi + 12\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \). Этот корень принадлежит отрезку (так как \( \pi \le \frac{7\pi}{6} \le \frac{5\pi}{2} \) <=> \( 1 \le \frac{7}{6} \le 2.5 \) — верно).
• Если \( n = 2 \), то \( x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{-5\pi + 24\pi}{6} = \frac{19\pi}{6} \). Этот корень не принадлежит отрезку (так как \( \frac{19\pi}{6} > \frac{5\pi}{2} \) <=> \( \frac{19}{6} > \frac{15}{6} \)).
7. Соберём все отобранные корни: \( \pi, 2\pi, \frac{7\pi}{6} \).

Ответ: \( \pi, \frac{7\pi}{6}, 2\pi \).