13. (2 балла) Вычислите площадь участка стола, отведенного для презентации работ дизайнера Василия, периметр которого ограничивают линии y= x²-2x-1 и y= -x²+2. Выполните чертеж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение:

1. Найдем точки пересечения парабол \( y = x^2 - 2x - 1 \) и \( y = -x^2 + 2 \). Приравняем уравнения: \( x^2 - 2x - 1 = -x^2 + 2 \)
2. Перенесем все члены в одну сторону: \( 2x^2 - 2x - 3 = 0 \)
3. Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(2)(-3) = 4 + 24 = 28 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \).
4. \( x_1 = \frac{2 - 2\sqrt{7}}{4} = \frac{1 - \sqrt{7}}{2} \)
5. \( x_2 = \frac{2 + 2\sqrt{7}}{4} = \frac{1 + \sqrt{7}}{2} \)
6. Площадь участка стола — это площадь фигуры, ограниченной этими параболами. Для нахождения площади нужно проинтегрировать разность функций между точками пересечения: \( S = \int_{x_1}^{x_2} ((-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 1)) dx \)
7. \( S = \int_{\frac{1 - \sqrt{7}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{7}}{2}} (-2x^2 + 2x + 3) dx \)
8. Вычислим интеграл: \( S = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 3x \right]_{\frac{1 - \sqrt{7}}{2}}^{\frac{1 + \sqrt{7}}{2}} \)
9. Подставим пределы интегрирования. Это довольно громоздкое вычисление. Однако, для площади между параболами \( y = ax^2 + bx + c \) и \( y = dx^2 + ex + f \) существует формула \( S = \frac{|a-d|\sqrt{D}}{6a^2} \) где D - дискриминант уравнения \( (a-d)x^2 + (b-e)x + (c-f) = 0 \). В нашем случае \( a=1, d=-1 \), так что \( a-d = 2 \). Уравнение \( 2x^2 - 2x - 3 = 0 \) имеет дискриминант \( D = 28 \).
10. Используя формулу для площади между параболами: \( S = \frac{|2|\sqrt{28}}{6(2^2)} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{7}}{6 4} = \frac{4\sqrt{7}}{24} = \frac{\sqrt{7}}{6} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{7}}{6} \) квадратных метров.