13. (3 балла) Вычислите площадь земли, отведенного под клумбу, периметр которого ограничивают линии у=х²-2x-2 и у=-х²+2. Выполните чертеж. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение:

Для нахождения площади клумбы, ограниченной двумя параболами \( y = x^2 - 2x - 2 \) и \( y = -x^2 + 2 \), сначала найдем точки их пересечения.

Приравняем уравнения:

\[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \]

\[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \]

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Найдем корни этого квадратного уравнения:

\[ (x-2)(x+1) = 0 \]

Точки пересечения по оси x: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 2 \).

Теперь определим, какая из функций является верхней, а какая нижней на интервале \( [-1, 2] \). Возьмем контрольную точку, например \( x=0 \):

Для \( y = x^2 - 2x - 2 \): \( y(0) = 0^2 - 2(0) - 2 = -2 \).

Для \( y = -x^2 + 2 \): \( y(0) = -(0)^2 + 2 = 2 \).

Таким образом, \( y = -x^2 + 2 \) — верхняя функция, а \( y = x^2 - 2x - 2 \) — нижняя на данном интервале.

Площадь \( S \) находится по формуле:

\[ S = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2)) dx \]

\[ S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + 2 - x^2 + 2x + 2) dx \]

\[ S = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{2x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{2} \]

\[ S = \left[ -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ S = \left( -\frac{2(2)^3}{3} + (2)^2 + 4(2) \right) - \left( -\frac{2(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 4(-1) \right) \]

\[ S = \left( -\frac{16}{3} + 4 + 8 \right) - \left( \frac{2}{3} + 1 - 4 \right) \]

\[ S = \left( -\frac{16}{3} + 12 \right) - \left( \frac{2}{3} - 3 \right) \]

\[ S = -\frac{16}{3} + 12 - \frac{2}{3} + 3 \]

\[ S = 15 - \frac{18}{3} \]

\[ S = 15 - 6 \]

\[ S = 9 \]

Площадь клумбы равна 9 квадратным метрам.

Чертеж:

Ответ: 9 м².