13.38. a) cos(\(\frac{3\pi}{2}\) + \(\alpha\)) sin \(\alpha\) + sin² (3\(\pi\) + \(\alpha\)) + tg (5\(\pi\) + \(\alpha\)) tg \(\alpha\);

Решение:

Упростим выражение, используя тригонометрические тождества:

1. \( \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha) \)
2. \( \sin^2(3\pi + \alpha) = \sin^2(\pi + \alpha) = (-\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) \)
3. \( \operatorname{tg}(5\pi + \alpha) = \operatorname{tg}(\pi + \alpha) = \operatorname{tg}(\alpha) \)

Подставим упрощённые выражения в исходное:

\( \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha) + \sin^2(\alpha) + \operatorname{tg}(\alpha) \cdot \operatorname{tg}(\alpha) = \sin^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) + \operatorname{tg}^2(\alpha) = 2\sin^2(\alpha) + \operatorname{tg}^2(\alpha) \)

Ответ: \( 2\sin^2(\alpha) + \operatorname{tg}^2(\alpha) \)