13.38. б) cos (3\(\pi\) - \(\beta\)) + ctg (3,5\(\pi\) - \(\beta\)) + cos (\(\frac{3\pi}{2}\) + \(\beta\)) ctg (\(\pi\) + \(\beta\)).

Решение:

Упростим выражение, используя тригонометрические тождества:

1. \( \cos(3\pi - \beta) = \cos(\pi - \beta) = -\cos(\beta) \)
2. \( \operatorname{ctg}(3.5\pi - \beta) = \operatorname{ctg}(\frac{7\pi}{2} - \beta) = \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{2} - \beta) = \operatorname{tg}(\beta) \)
3. \( \cos(\frac{3\pi}{2} + \beta) = -\sin(\beta) \)
4. \( \operatorname{ctg}(\pi + \beta) = \operatorname{ctg}(\beta) \)

Подставим упрощённые выражения в исходное:

\( -\cos(\beta) + \operatorname{tg}(\beta) - \sin(\beta) \cdot \operatorname{ctg}(\beta) \)

Так как \( \operatorname{tg}(\beta) = \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} \) и \( \operatorname{ctg}(\beta) = \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)} \), то \( \operatorname{tg}(\beta) \cdot \operatorname{ctg}(\beta) = 1 \) (при условии, что \( \beta \neq \frac{\pi k}{2} \)).

\( -\cos(\beta) + \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} - \sin(\beta) \cdot \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)} = -\cos(\beta) + \frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)} - 1 \)

\( = -\cos(\beta) + \operatorname{tg}(\beta) - 1 \)

Ответ: \( -\cos(\beta) + \operatorname{tg}(\beta) - 1 \)