13.42. a) sin 150° - cos 240° / ctg 730° ctg800° + tg730° tg800°; б) sin 750° sin 150° + cos 930° cos (-870°) + tg 600°.

Решение:

а) Вычислим значение выражения:

Используем формулы приведения и свойства тригонометрических функций:

\( \sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \)

\( \cos 240^{\circ} = \cos (180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2} \)

\( \text{ctg } 730^{\circ} = \text{ctg } (2 \cdot 360^{\circ} + 10^{\circ}) = \text{ctg } 10^{\circ} \)

\( \text{ctg } 800^{\circ} = \text{ctg } (2 \cdot 360^{\circ} + 80^{\circ}) = \text{ctg } 80^{\circ} \)

\( \text{tg } 730^{\circ} = \text{tg } 10^{\circ} \)

\( \text{tg } 800^{\circ} = \text{tg } 80^{\circ} \)

Подставим значения в дробь:

\( \frac{\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})}{\text{ctg } 10^{\circ} \text{ctg } 80^{\circ} + \text{tg } 10^{\circ} \text{tg } 80^{\circ}} = \frac{1}{\text{ctg } 10^{\circ} \text{tg } 10^{\circ} + \text{ctg } 80^{\circ} \text{tg } 80^{\circ}} \) (т.к. \( \text{ctg } x = \frac{1}{\text{tg } x} \), то \( \text{ctg } x \text{ tg } x = 1 \))

\( \text{ctg } 80^{\circ} = \text{tg } (90^{\circ} - 80^{\circ}) = \text{tg } 10^{\circ} \) и \( \text{tg } 80^{\circ} = \text{ctg } (90^{\circ} - 80^{\circ}) = \text{ctg } 10^{\circ} \)

Получаем:

\( \frac{1}{1 + \text{tg } 10^{\circ} \text{ctg } 10^{\circ}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \)

б) Вычислим значение выражения:

Используем свойства тригонометрических функций:

\( \sin 750^{\circ} = \sin (2 \cdot 360^{\circ} + 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \)

\( \sin 150^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \)

\( \cos 930^{\circ} = \cos (2 \cdot 360^{\circ} + 210^{\circ}) = \cos 210^{\circ} = \cos (180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \cos (-870^{\circ}) = \cos (870^{\circ}) = \cos (2 \cdot 360^{\circ} + 150^{\circ}) = \cos 150^{\circ} = \cos (180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \text{tg } 600^{\circ} = \text{tg } (360^{\circ} + 240^{\circ}) = \text{tg } 240^{\circ} = \text{tg } (180^{\circ} + 60^{\circ}) = \text{tg } 60^{\circ} = \sqrt{3} \)

Подставим значения в выражение:

\( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \sqrt{3} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + \sqrt{3} = 1 + \sqrt{3} \)

Ответ: а) \(\frac{1}{2}\); б) \(1 + \sqrt{3}\).