13. 4x \(\cdot\) \(\sqrt{x+3}\) + x^2 \(\cdot\) \(\sqrt{x+3}\) = 0

Решение:

Для решения уравнения \( 4x \cdot \sqrt{x+3} + x^2 \cdot \sqrt{x+3} = 0 \) вынесем общий множитель \( \sqrt{x+3} \) за скобки:

\[ \sqrt{x+3} (4x + x^2) = 0 \]

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1. \( \sqrt{x+3} = 0 \)
2. \( 4x + x^2 = 0 \)

Решим первое уравнение:

\[ \sqrt{x+3} = 0 \]

Возведём обе части в квадрат:

\[ x+3 = 0 \]

\[ x = -3 \]

Решим второе уравнение:

\[ 4x + x^2 = 0 \]

Вынесем общий множитель \( x \) за скобки:

\[ x(4 + x) = 0 \]

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1. \( x = 0 \)
2. \( 4 + x = 0 \implies x = -4 \)

Теперь проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение. Обязательно нужно учесть область определения, где \( x+3 \ge 0 \), то есть \( x \ge -3 \).

Проверка:

• При \( x = -3 \): \( 4(-3) \cdot \sqrt{-3+3} + (-3)^2 \cdot \sqrt{-3+3} = -12 \cdot 0 + 9 \cdot 0 = 0 \). Подходит.
• При \( x = 0 \): \( 4(0) \cdot \sqrt{0+3} + (0)^2 \cdot \sqrt{0+3} = 0 \cdot \sqrt{3} + 0 \cdot \sqrt{3} = 0 \). Подходит.
• При \( x = -4 \): \( x+3 = -4+3 = -1 \). Выражение \( \sqrt{-1} \) не имеет действительного значения, поэтому \( x = -4 \) не является решением.

Таким образом, решениями уравнения являются \( x = -3 \) и \( x = 0 \).

Ответ: x = -3, x = 0.