13. a) Решите уравнение 4^{\(\log\)_{2}\(-\cos x\)} + 2^{-1.5} \(\cdot\) 3^{\(\log\)_{9}\(2 \sin^{2} x\)} = 1

Решение:

1. Преобразуем основание первой степени: \( 4 = 2^2 \).
2. Преобразуем второе слагаемое: \( 2^{-1.5} = 2^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2^3}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \).
3. Преобразуем логарифм в основании второй степени: \( \log_{9}(2 \sin^{2} x) = \frac{\log_{3}(2 \sin^{2} x)}{\log_{3} 9} = \frac{\log_{3}(2 \sin^{2} x)}{2} \).
4. Теперь уравнение примет вид: \( (2^2)^{\log_{2}(-\cos x)} + \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot 3^{\frac{\log_{3}(2 \sin^{2} x)}{2}} = 1 \).
5. Используем свойство \( (a^m)^n = a^{mn} \) и \( a^{\log_{a} b} = b \). В первой степени: \( 2^{2 \log_{2}(-\cos x)} = 2^{\log_{2}((-\cos x)^2)} = (-\cos x)^2 = \cos^2 x \).
6. Во второй степени: \( 3^{\frac{1}{2} \log_{3}(2 \sin^{2} x)} = 3^{\log_{3}(\sqrt{2 \sin^{2} x})} = \sqrt{2 \sin^{2} x} = \sqrt{2} |\sin x| \).
7. Упростим второе слагаемое: \( \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} |\sin x| = \frac{|\sin x|}{2} \).
8. Исходное уравнение примет вид: \( \cos^2 x + \frac{|\sin x|}{2} = 1 \).
9. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).
10. Подставим: \( 1 - \sin^2 x + \frac{|\sin x|}{2} = 1 \).
11. \( -\sin^2 x + \frac{|\sin x|}{2} = 0 \).
12. \( \sin^2 x - \frac{|\sin x|}{2} = 0 \).
13. Вынесем \( |\sin x| \) за скобки: \( |\sin x| ( |\sin x| - \frac{1}{2} ) = 0 \).
14. Отсюда получаем два случая: \( |\sin x| = 0 \) или \( |\sin x| = \frac{1}{2} \).
15. Случай 1: \( |\sin x| = 0 \) ⇒ \( \sin x = 0 \) ⇒ \( x = \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
16. Случай 2: \( |\sin x| = \frac{1}{2} \) ⇒ \( \sin x = \frac{1}{2} \) или \( \sin x = -\frac{1}{2} \).
17. Если \( \sin x = \frac{1}{2} \) ⇒ \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
18. Если \( \sin x = -\frac{1}{2} \) ⇒ \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m \) или \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \).
19. Также необходимо учесть условие для логарифма: \( -\cos x > 0 \) ⇒ \( \cos x < 0 \). Это происходит в III и IV четвертях.
20. Проверим корни из \( \sin x = 0 \): \( x = \pi k \). При \( k = 0 \), \( x = 0 \), \( \cos 0 = 1 \) (не подходит). При \( k = 1 \), \( x = \pi \), \( \cos \pi = -1 \) (подходит). При \( k = 2 \), \( x = 2\pi \), \( \cos 2\pi = 1 \) (не подходит).
21. Проверим корни из \( \sin x = \frac{1}{2} \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) (I четверть, \( \cos > 0 \), не подходит). \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \) (II четверть, \( \cos < 0 \), подходит).
22. Проверим корни из \( \sin x = -\frac{1}{2} \): \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m \) (IV четверть, \( \cos > 0 \), не подходит). \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m \) (III четверть, \( \cos < 0 \), подходит).
23. Итак, решения: \( x = \pi + 2\pi k \), \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m \).
24. Объединяя их, можно записать: \( x = \pi (2k+1) \) и \( x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi(2n+1) \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).