13. а) Решите уравнение cos²x - 7cosx = 0. б) Определите количество решений, принадлежащих промежутку [п; 7п].

Решение:

а) Решение уравнения:

1. Уравнение имеет вид \( ст^2x - 7стx = 0 \).
2. Вынесем общий множитель \( стx \) за скобки: \( стx(\u0441тx - 7) = 0 \).
3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
• \( стx = 0 \)
• \( стx - 7 = 0 3 \) \( стx = 7 \)
4. Решим первое уравнение: \( стx = 0 \). Общее решение: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
5. Решим второе уравнение: \( стx = 7 \). Так как \( -1 \le \u0441тx \le 1 \), то \( стx = 7 \) не имеет решений.

б) Определение количества решений на промежутке \( [\pi; 7\pi] \):

1. Нам нужно найти количество решений уравнения \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \) на промежутке \( [\pi; 7\pi] \).
2. Подставим значения \( n \) и проверим, попадают ли решения в заданный промежуток:
• При \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{2} \) (не входит в промежуток)
• При \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \) (входит в промежуток)
• При \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \) (входит в промежуток)
• При \( n = 3 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2} \) (входит в промежуток)
• При \( n = 4 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} \) (входит в промежуток)
• При \( n = 5 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 5\pi = \frac{11\pi}{2} \) (входит в промежуток)
• При \( n = 6 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{13\pi}{2} \) (входит в промежуток)
• При \( n = 7 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 7\pi = \frac{15\pi}{2} \) (не входит в промежуток, т.к. \( \frac{15\pi}{2} = 7.5\pi \) \( > 7\pi \))
3. Таким образом, решениями на промежутке \( [\pi; 7\pi] \) являются: \( \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{9\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}, \frac{13\pi}{2} \).
4. Всего таких решений 6.

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), \( n \in \mathbb{Z} \). б) 6.