13. а) Решите уравнение cos²x - 7cosx = 0. б) Определите количество решений, принадлежащих промежутку [п; 7π].

Решение:

а) Решение уравнения cos²x - 7cosx = 0:

Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Введём замену \( y = \cos x \).

Уравнение примет вид: \( y^2 - 7y = 0 \).

Вынесем \( y \) за скобки: \( y(y - 7) = 0 \).

Получаем два возможных значения для \( y \):

• \( y = 0 \)
• \( y - 7 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( y = 7 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = \cos x \):

• \( \cos x = 0 \)
• \( \cos x = 7 \)

Уравнение \( \cos x = 7 \) не имеет решений, так как значение косинуса не может быть больше 1.

Решим уравнение \( \cos x = 0 \).

Общее решение уравнения \( \cos x = 0 \) имеет вид: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — целое число.

б) Определение количества решений, принадлежащих промежутку [π; 7π]:

Нам нужно найти такие целые значения \( n \), при которых \( \pi \le \frac{\pi}{2} + \pi n \le 7\pi \).

Разделим все части неравенства на \( \pi \):

\( 1 \le \frac{1}{2} + n \le 7 \).

Вычтем \( \frac{1}{2} \) из всех частей неравенства:

\( 1 - \frac{1}{2} \le n \le 7 - \frac{1}{2} \).

\( \frac{1}{2} \le n \le 6.5 \).

Целые значения \( n \), удовлетворяющие этому неравенству:

• \( n = 1 \)
• \( n = 2 \)
• \( n = 3 \)
• \( n = 4 \)
• \( n = 5 \)
• \( n = 6 \)

Таким образом, существует 6 значений \( n \), которым соответствуют решения уравнения в заданном промежутке.

Для \( n=1 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi(1) = \frac{3\pi}{2} \).

Для \( n=2 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi(2) = \frac{5\pi}{2} \).

Для \( n=3 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi(3) = \frac{7\pi}{2} \).

Для \( n=4 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi(4) = \frac{9\pi}{2} \).

Для \( n=5 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi(5) = \frac{11\pi}{2} \).

Для \( n=6 \): \( x = \frac{\pi}{2} + \pi(6) = \frac{13\pi}{2} \).

Все эти значения находятся в промежутке \( [\pi; 7\pi] \).

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \) (или \( \cos x = 0 \) ) ; б) 6 решений.