Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла \( \cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1 \) и синуса двойного угла \( \sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \). Также применим формулу \( \cos^2{\alpha} = 1 - \sin^2{\alpha} \).
- Преобразуем уравнение:
\[ \cos^2{x} + \sin^2{\left( x - \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{1}{2} \]
Используем формулу \( \sin^2{\alpha} = \frac{1 - \cos{2\alpha}}{2} \) и \( \cos^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2} \).
\[ \frac{1 + \cos{2x}}{2} + \frac{1 - \cos{\left( 2\left( x - \frac{\pi}{4} \right) \right)}}{2} = \frac{1}{2} \]
\[ 1 + \cos{2x} + 1 - \cos{\left( 2x - \frac{\pi}{2} \right)} = 1 \]
\[ 2 + \cos{2x} - \cos{\left( 2x - \frac{\pi}{2} \right)} = 1 \]
Учитывая, что \( \cos{\left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right)} = \sin{\alpha} \), получаем:
\[ 2 + \cos{2x} - \sin{2x} = 1 \]
\[ \cos{2x} - \sin{2x} = -1 \]
Разделим обе части на \( \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \):
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{2x} - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin{2x} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]
Используем формулу \( \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta} = \cos{\left( \alpha + \beta \right)} \), где \( \cos{\frac{\pi}{4}} = \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
\[ \cos{\frac{\pi}{4}}\cos{2x} - \sin{\frac{\pi}{4}}\sin{2x} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]
\[ \cos{\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right)} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]
Отсюда следует:
\[ 2x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \]
Рассмотрим два случая:
Случай 1:
\[ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \]
\[ 2x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]
\[ 2x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi k \]
\[ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \]
\[ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \]
Случай 2:
\[ 2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \]
\[ 2x = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \]
\[ 2x = -\frac{4\pi}{4} + 2\pi k \]
\[ 2x = -\pi + 2\pi k \]
\[ x = -\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \]
Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}. \)
