13. а) Решите уравнение \(\log_2^2(2-\sin^2 x)-3\log_2(1+\cos^2 x)+2=0\); б) укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right]\).

Так как \(2-\sin^2x=1+\cos^2x\), обозначим \(t=\log_2(1+\cos^2x)\). Поскольку \(1\le 1+\cos^2x\le2\), имеем \(0\le t\le1\).

Тогда уравнение принимает вид \(t^2-3t+2=0\), откуда \((t-1)(t-2)=0\). С учётом условия \(0\le t\le1\) подходит только \(t=1\).

Следовательно, \(\log_2(1+\cos^2x)=1\), поэтому \(1+\cos^2x=2\), то есть \(\cos^2x=1\). Значит, \(\cos x=\pm1\), и

\[x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.\]

На отрезке \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{\pi}{2}\right]\) лежат числа \(-2\pi\) и \(-\pi\).

Ответ: а) \(x=\pi k,\ k\in\mathbb Z\); б) \(x\in\{-2\pi,-\pi\}\).