13. а) Решите уравнение $\log_3^3 (x-3)^2+8\log_3\frac{1}{x-3}+16=\log_3^2\frac{1}{(x-3)^4}$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_{0,6}\frac{1}{6};\log_{0,8}\frac{1}{8}\right]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 13. а) Решите уравнение $\log_3^3 (x-3)^2+8\log_3\frac{1}{x-3}+16=\log_3^2\frac{1}{(x-3)^4}$. б) Найдите все корни этого…$ Фото задания

13. а) Решите уравнение $\log_3^3 (x-3)^2+8\log_3\frac{1}{x-3}+16=\log_3^2\frac{1}{(x-3)^4}$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_{0,6}\frac{1}{6};\log_{0,8}\frac{1}{8}\right]$.

Accepted Answer

а) Область допустимых значений: $x>3$. Обозначим $t=\log_3\frac{1}{x-3}$. Тогда $\log_3 (x-3)^2=-2t$, а $\log_3\frac{1}{(x-3)^4}=4t$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$(-2t)^3+8t+16=(4t)^2$.

Перенесём все слагаемые в одну сторону и разложим на множители:

$t^3+2t^2-t-2=0$,

$(t+2)(t+1)(t-1)=0$. Следовательно, $t=-2$, $t=-1$ или $t=1$.

Из равенства $\log_3\frac{1}{x-3}=t$ получаем $x=3+3^{-t}$. Поэтому корни уравнения: $x=12$, $x=6$, $x=\frac{10}{3}$.

б) Границы заданного отрезка приблизительно равны $\log_{0,6}\frac{1}{6}\approx3,51$ и $\log_{0,8}\frac{1}{8}\approx9,32$. Из найденных корней только $6$ принадлежит этому отрезку.

Ответ: а) $\frac{10}{3}, 6, 12$; б) $6$.

13. а) Решите уравнение \(\log_3^3 (x-3)^2+8\log_3\frac{1}{x-3}+16=\log_3^2\frac{1}{(x-3)^4}\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\log_{0,6}\frac{1}{6};\log_{0,8}\frac{1}{8}\right]\).

Ответ: