13. a) Решите уравнение log5(2-x) = log25 x^4.

Решение:

Данное уравнение:

\[ \log_{5}(2-x) = \log_{25} x^4 \]

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Логарифмы определены, когда их аргументы положительны:

• \( 2 - x > 0 \Rightarrow x < 2 \)
• \( x^4 > 0 \Rightarrow x \neq 0 \)

Таким образом, ОДЗ: \( x < 2 \) и \( x \neq 0 \).

Теперь приведём логарифмы к одному основанию. Используем свойство \( \log_{a^m} b = \frac{1}{m} \log_a b \) и \( \log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b \). Так как \( 25 = 5^2 \), имеем:

\[ \log_{25} x^4 = \log_{5^2} x^4 = \frac{4}{2} \log_{5} x = 2 \log_{5} x \]

Теперь уравнение примет вид:

\[ \log_{5}(2-x) = 2 \log_{5} x \]

Используем свойство \( n \log_a b = \log_a b^n \):

\[ \log_{5}(2-x) = \log_{5} x^2 \]

Если логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны и их аргументы:

\[ 2 - x = x^2 \]

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2(1)} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ \( x < 2 \) и \( x \neq 0 \).

• Корень \( x_1 = 1 \): \( 1 < 2 \) и \( 1 \neq 0 \). Этот корень подходит.
• Корень \( x_2 = -2 \): \( -2 < 2 \) и \( -2 \neq 0 \). Этот корень подходит.

Ответ: x = 1, x = -2.