13. а) Решите уравнение \(\sin 2x\sin x+\sqrt{2}\cos^2x=\sqrt{2}\). б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку \([3\pi/2;3\pi]\).

а) Перенесём правую часть влево и используем \(\sin 2x=2\sin x\cos x\):

\(2\sin^2x\cos x+\sqrt{2}\cos^2x-\sqrt{2}=0\).

Так как \(\cos^2x-1=-\sin^2x\), получаем:

\(\sin^2x(2\cos x-\sqrt{2})=0\).

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\cos x=\sqrt{2}/2\). Следовательно, \(x=\pi k\) или \(x=2\pi k\pm\pi/4\), где \(k\in\mathbb{Z}\).

б) На отрезке \([3\pi/2;3\pi]\) из серии \(x=\pi k\) получаем \(2\pi\) и \(3\pi\), а из серии \(x=2\pi k\pm\pi/4\) — \(7\pi/4\), \(9\pi/4\), \(11\pi/4\).

Ответ: \(2\pi;\ 7\pi/4;\ 9\pi/4;\ 11\pi/4;\ 3\pi\).