13. а) Решите уравнение 16sin 2x - 64sinx ________________ = 0. √sin x

Привет! Давай разберемся с этим уравнением шаг за шагом.

1. Анализируем уравнение:

У нас есть уравнение:

\[ \frac{16^{\sin 2x} - 64^{\sin x}}{\sqrt{\sin x}} = 0 \]

Чтобы дробь была равна нулю, ее числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — не равен нулю.

2. Условие для знаменателя:

\[ \sqrt{\sin x}
eq 0 \]

Это значит, что:

\[ \sin x
eq 0 \]

3. Условие для числителя:

\[ 16^{\sin 2x} - 64^{\sin x} = 0 \]

Перенесем второе слагаемое в правую часть:

\[ 16^{\sin 2x} = 64^{\sin x} \]

Теперь приведем основания степеней к одному: 16 и 64 — это степени четверки (или двойки, но четверка удобнее).

\[ (4^2)^{\sin 2x} = (4^3)^{\sin x} \]

Используем свойство степеней (a^m)^n = a^(m*n):

\[ 4^{2 \sin 2x} = 4^{3 \sin x} \]

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

\[ 2 \sin 2x = 3 \sin x \]

Теперь вспомним формулу двойного угла для синуса: \sin 2x = 2 \sin x \cos x. Подставим ее в уравнение:

\[ 2 (2 \sin x \cos x) = 3 \sin x \]

\[ 4 \sin x \cos x = 3 \sin x \]

Перенесем все в левую часть:

\[ 4 \sin x \cos x - 3 \sin x = 0 \]

Вынесем общий множитель \sin x за скобки:

\[ \sin x (4 \cos x - 3) = 0 \]

Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

Случай 1:

\[ \sin x = 0 \]

Но мы уже выяснили, что \sin x
eq 0, поэтому этот случай нам не подходит.

Случай 2:

\[ 4 \cos x - 3 = 0 \]

\[ 4 \cos x = 3 \]

\[ \cos x = \frac{3}{4} \]

4. Итоговый ответ:

Корнями уравнения являются те значения  x, для которых \cos x = \frac{3}{4}.

Ответ: \cos x = \frac{3}{4}