13. Дано уравнение 2cos^2x+2sin2x = 3. а) Решите данное уравнение. б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку [ -3π/2 ; -π/2 ].

Решение:

Дано уравнение: \( 2\cos^2{x} + 2\sin{2x} = 3 \).

а) Решение уравнения:

1. Воспользуемся формулой двойного угла для синуса: \( \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} \).
2. Подставим в уравнение: \( 2\cos^2{x} + 2(2\sin{x}\cos{x}) = 3 \).
3. Упростим: \( 2\cos^2{x} + 4\sin{x}\cos{x} = 3 \).
4. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \), поэтому \( 3 = 3(\sin^2{x} + \cos^2{x}) \).
5. Подставим это в уравнение: \( 2\cos^2{x} + 4\sin{x}\cos{x} = 3(\sin^2{x} + \cos^2{x}) \).
6. Раскроем скобки и перенесём все члены в одну сторону: \( 2\cos^2{x} + 4\sin{x}\cos{x} = 3\sin^2{x} + 3\cos^2{x} \).
7. \( 3\sin^2{x} - 4\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} = 0 \).
8. Это однородное уравнение второй степени относительно \( \sin{x} \) и \( \cos{x} \). Разделим обе части уравнения на \( \cos^2{x} \) (при условии, что \( \cos{x} \neq 0 \). Если \( \cos{x}=0 \), то \( \sin{x}=\pm 1 \), и уравнение примет вид \( 3(\pm 1)^2 - 0 + 0 = 0 \), то есть \( 3=0 \), что неверно. Следовательно, \( \cos{x} \neq 0 \)).
9. \( 3\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} - 4\frac{\sin{x}\cos{x}}{\cos^2{x}} + \frac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}} = 0 \).
10. \( 3\tan^2{x} - 4\tan{x} + 1 = 0 \).
11. Сделаем замену \( t = \tan{x} \): \( 3t^2 - 4t + 1 = 0 \).
12. Решим квадратное уравнение для \( t \): \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \).
13. \( t_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4+2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \).
14. \( t_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
15. Вернёмся к замене:
• \( \tan{x} = 1 \) \(\Rightarrow\) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in ℤ \).
• \( \tan{x} = \frac{1}{3} \) \(\Rightarrow\) \( x = \arctan{\frac{1}{3}} + \pi k \), где \( k \in ℤ \).

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку [ -3π/2 ; -π/2 ].

Проверим корни из пункта а) на принадлежность промежутку \( \left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right] \).

Случай 1: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \).

• При \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{4} - \pi = \frac{\pi - 4\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} \).
• Проверим: \( -\frac{3\pi}{2} \leq -\frac{3\pi}{4} \leq -\frac{\pi}{2} \).
• \( -1.5\pi \leq -0.75\pi \leq -0.5\pi \). Это верно.
• При \( n = -2 \): \( x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi - 8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4} \).
• Проверим: \( -\frac{3\pi}{2} \leq -\frac{7\pi}{4} \leq -\frac{\pi}{2} \).
• \( -1.5\pi \leq -1.75\pi \leq -0.5\pi \). Это неверно, так как \( -1.75\pi < -1.5\pi \).

Случай 2: \( x = \arctan{\frac{1}{3}} + \pi k \).

Известно, что \( 0 < \arctan{\frac{1}{3}} < \frac{\pi}{2} \).

• При \( k = -1 \): \( x = \arctan{\frac{1}{3}} - \pi \).
• Так как \( 0 < \arctan{\frac{1}{3}} < \frac{\pi}{2} \), то \( -\pi < \arctan{\frac{1}{3}} - \pi < -\frac{\pi}{2} \).
• \( -1.5\pi \leq \arctan{\frac{1}{3}} - \pi \leq -0.5\pi \).
• \( -1.5\pi \leq \arctan{\frac{1}{3}} - \pi \) верно, так как \( \arctan{\frac{1}{3}} > 0 \).
• \( \arctan{\frac{1}{3}} - \pi \leq -0.5\pi \) \(\Rightarrow\) \( \arctan{\frac{1}{3}} \leq \frac{\pi}{2} \), что верно.
• Таким образом, \( x = \arctan{\frac{1}{3}} - \pi \) принадлежит промежутку.
• При \( k = -2 \): \( x = \arctan{\frac{1}{3}} - 2\pi \).
• \( \arctan{\frac{1}{3}} - 2\pi < -2\pi \), что меньше \( -1.5\pi \).

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \) или \( x = \arctan{\frac{1}{3}} + \pi k \), где \( n, k \in ℤ \). б) \( -\frac{3\pi}{4} \) и \( \arctan{\frac{1}{3}} - \pi \).