13 Доказать, что при любых значениях а верно неравенство: 1) (2 + a)(a + 5) < (a + 3)(a + 4); 2) (3 - a)² > a(a - 6).

Решение:

1) Докажем неравенство \( (2 + a)(a + 5) < (a + 3)(a + 4) \).

1. Раскроем скобки в левой части: \( (2 + a)(a + 5) = 2a + 10 + a^2 + 5a = a^2 + 7a + 10 \).
2. Раскроем скобки в правой части: \( (a + 3)(a + 4) = a^2 + 4a + 3a + 12 = a^2 + 7a + 12 \).
3. Сравним полученные выражения: \( a^2 + 7a + 10 < a^2 + 7a + 12 \).
4. Вычтем \( a^2 + 7a \) из обеих частей неравенства: \( 10 < 12 \).
5. Это неравенство верно при любых значениях \( a \). Следовательно, исходное неравенство верно.

2) Докажем неравенство \( (3 - a)^2 > a(a - 6) \).

1. Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности: \( (3 - a)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot a + a^2 = 9 - 6a + a^2 \).
2. Раскроем скобки в правой части: \( a(a - 6) = a^2 - 6a \).
3. Сравним полученные выражения: \( a^2 - 6a + 9 > a^2 - 6a \).
4. Вычтем \( a^2 - 6a \) из обеих частей неравенства: \( 9 > 0 \).
5. Это неравенство верно при любых значениях \( a \). Следовательно, исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенства доказаны.