13. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

Обозначим вершины треугольника через A, B, C, а точку внутри него — через P. Рассмотрим функцию, которая каждой точке X треугольника сопоставляет сумму расстояний до его вершин: f(X) = XA + XB + XC.

1. Расстояние до фиксированной точки — выпуклая функция. Поэтому и сумма таких расстояний выпукла на треугольнике.
2. Выпуклая функция в любой точке треугольника не превосходит наибольшего из своих значений в вершинах. Значит, f(P) ≤ max{f(A), f(B), f(C)}.
3. В вершинах получаем: f(A) = AB + AC, f(B) = AB + BC, f(C) = AC + BC. Каждая из этих сумм меньше периметра AB + BC + CA, поскольку в ней отсутствует одна положительная сторона.

Следовательно, сумма расстояний от P до вершин треугольника меньше его периметра.

Ответ: PA + PB + PC < AB + BC + CA.