13. Докажите, что в теореме синусов каждое из трёх отношений \(\frac{a}{\sin\alpha}\), \(\frac{b}{\sin\beta}\), \(\frac{c}{\sin\gamma}\) равно \(2R\), где \(R\) — радиус окружности, описанной около треугольника.

Пусть сторона \(a\) — хорда описанной окружности радиуса \(R\), а вписанный угол, опирающийся на эту хорду, равен \(\alpha\). Центральный угол, опирающийся на ту же хорду, равен \(2\alpha\).

1. Проведём радиусы к концам хорды \(a\). Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам и центральный угол пополам.
2. В прямоугольном треугольнике половина хорды равна \(R\sin\alpha\). Следовательно, \(a=2R\sin\alpha\), то есть \(\frac{a}{\sin\alpha}=2R\).
3. Аналогично для двух других сторон: \(b=2R\sin\beta\) и \(c=2R\sin\gamma\). Поэтому \(\frac{b}{\sin\beta}=2R\) и \(\frac{c}{\sin\gamma}=2R\).

Таким образом, все три отношения равны диаметру описанной окружности:

\[\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R.\]