13. Два угла треугольника равны 30° и 135°, а разность противоположных им сторон равна 5(√2−1). Найдите эти стороны.

Пусть \(x\) — сторона, лежащая напротив угла \(30°\), а \(y\) — напротив угла \(135°\). По теореме синусов:

\(\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin135°}{\sin30°}=\dfrac{\sqrt2/2}{1/2}=\sqrt2\), следовательно, \(y=\sqrt2x\).

По условию \(y-x=5(\sqrt2-1)\). Подставляем: \(x(\sqrt2-1)=5(\sqrt2-1)\), откуда \(x=5\), а \(y=5\sqrt2\).

Ответ: сторона напротив угла 30° равна 5, а сторона напротив угла 135° — 5√2.