13. ∠FON + ∠FOE = 2∠MOE, ∠FON − ∠MOE = 10°. ∠FOE — ?

Обозначим ∠MOE = x°, ∠FON = y°. По условию:

\(y+\angle FOE=2x\), поэтому \(\angle FOE=2x-y\).

Также \(y-x=10\), значит \(y=x+10\). Подставим:

\(\angle FOE=2x-(x+10)=x-10\).

Так как лучи OM и ON образуют развёрнутый угол, а лучи OE и OF лежат между ними, то \(\angle MOE+\angle EOF+\angle FON=180°\). Следовательно, \(x+\angle FOE+y=180\). Подставляя \(y=x+10\) и \(\angle FOE=x-10\), получаем \(3x=180\), откуда \(x=60°\). Тогда \(\angle FOE=60°-10°=50°\).

Ответ: 50°.