Ответ:

  1. предыстория — интересная предыстория события;
  2. предыюльский — предыюльский период;
  3. безымянный — безымянный автор;
  4. разыскивать — разыскивать преступника;
  5. безынтересный — безынтересный разговор;
  6. безынициативный — безынициативный сотрудник.

В словах предыстория, предыюльский, безымянный, разыскивать, безынтересный, безынициативный начальная буква корня после приставки пишется по правилу: после русской приставки на согласный и заменяется на ы.