13. Каким образом необходимо соединить 4 конденсатора емкостью по 9·10⁻⁹ Ф каждый, чтобы получить батарею емкостью 12·10⁻⁹ Ф?

Решение:

Для получения большей ёмкости конденсаторы соединяют параллельно. Общая ёмкость при параллельном соединении равна сумме ёмкостей отдельных конденсаторов: \( C_{общ} = C_1 + C_2 + C_3 + C_4 \).

В данном случае все конденсаторы имеют одинаковую ёмкость \( C = 9 \cdot 10^{-9} \) Ф. Требуется получить общую ёмкость \( C_{общ} = 12 \cdot 10^{-9} \) Ф.

Если соединить 4 конденсатора последовательно, то \( C_{общ} = \frac{C}{4} = \frac{9 \cdot 10^{-9}}{4} = 2.25 \cdot 10^{-9} \) Ф.

Если соединить 4 конденсатора параллельно, то \( C_{общ} = 4C = 4 \cdot 9 \cdot 10^{-9} = 36 \cdot 10^{-9} \) Ф.

Для получения \( 12 \cdot 10^{-9} \) Ф необходимо сделать комбинированное соединение.

Пусть \( n \) конденсаторов соединены последовательно, а эти группы соединены параллельно.

Тогда ёмкость одной группы равна \( \frac{C}{n} \).

Если таких групп \( m \), то \( C_{общ} = m \frac{C}{n} \).

Используем 4 конденсатора. Возможные схемы:

• 2 последовательно, 2 параллельно: \( C_{общ} = 2 \cdot \frac{9 \cdot 10^{-9}}{2} = 9 \cdot 10^{-9} \) Ф.
• 3 последовательно, 1 параллельно (ошибка в условии, так как 3 конденсатора не дадут нужную ёмкость).
• 1 последовательно, 3 параллельно (ошибка в условии).

Другой вариант: Пусть \( k \) конденсаторов соединены параллельно, а эти группы последовательно.

Пусть \( n \) конденсаторов соединены параллельно, а таких групп \( m \).

\( C_{группы} = nC = n \cdot 9 \cdot 10^{-9} \) Ф.

\( C_{общ} = \frac{C_{группы}}{m} = \frac{n \cdot 9 \cdot 10^{-9}}{m} \).

У нас 4 конденсатора, значит \( nm = 4 \).

Если \( n=1, m=4 \) → \( C_{общ} = \frac{1 \cdot 9 \cdot 10^{-9}}{4} = 2.25 \cdot 10^{-9} \) Ф.

Если \( n=2, m=2 \) → \( C_{общ} = \frac{2 \cdot 9 \cdot 10^{-9}}{2} = 9 \cdot 10^{-9} \) Ф.

Если \( n=4, m=1 \) → \( C_{общ} = \frac{4 \cdot 9 \cdot 10^{-9}}{1} = 36 \cdot 10^{-9} \) Ф.

Есть другая интерпретация: \( m \) групп, каждая из \( n \) конденсаторов, соединённых параллельно, и эти \( m \) групп соединены последовательно.

\( C_{параллельно} = nC \)

\( C_{последовательно} = \frac{C_{параллельно}}{m} = \frac{n C}{m} \)

Нам нужно \( 12 · 10^{-9} \) Ф.

\( n \cdot m = 4 \) (всего конденсаторов)

\( \frac{n \cdot 9 · 10^{-9}}{m} = 12 · 10^{-9} \)

\( \frac{n}{m} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \)

\( n = \frac{4}{3} m \)

Подставляем во второе уравнение: \( \frac{4}{3} m \cdot m = 4 \)

\( m^2 = 3 \) → \( m = \sqrt{3} \) (не целое число).

Возможно, условие задачи подразумевает, что конденсаторы можно соединять группами.

Предположим, что 3 конденсатора соединены параллельно: \( C_{пар.} = 3 · 9 · 10^{-9} = 27 · 10^{-9} \) Ф.

И 1 конденсатор отдельно.

Если соединить эти группы последовательно: \( C_{общ} = \frac{C_{пар.} · C}{C_{пар.} + C} = \frac{(27 · 10^{-9}) · (9 · 10^{-9})}{27 · 10^{-9} + 9 · 10^{-9}} = \frac{243 · 10^{-18}}{36 · 10^{-9}} = \frac{243}{36} · 10^{-9} = 6.75 · 10^{-9} \) Ф.

Рассмотрим вариант: 3 конденсатора последовательно, 1 параллельно.

\( C_{посл.} = \frac{9 · 10^{-9}}{3} = 3 · 10^{-9} \) Ф.

\( C_{общ} = C_{посл.} + C = 3 · 10^{-9} + 9 · 10^{-9} = 12 · 10^{-9} \) Ф.

Таким образом, нужно соединить 3 конденсатора последовательно, а полученную группу соединить параллельно с четвёртым конденсатором.

Ответ: 3 конденсатора последовательно, а полученную группу параллельно с четвёртым конденсатором.