13 мешке находится 29 белых перчаток и 31 черная перчатка. Перчатки достают из мешка парами. Если достали пару перчаток одного цвета, то в мешок кладут черную перчатку. Если достали пару перчаток разного цвета, то в мешок кладут белую перчатку. Какого цвета окажется перчатка, которая останется в мешке последней?

Дано:

• 29 белых перчаток
• 31 черная перчатка

Условие:

• Если достали пару одного цвета, кладем черную.
• Если достали пару разного цвета, кладем белую.

Решение:

Рассмотрим, как меняется количество перчаток каждого цвета при каждой операции:

1. Пара одного цвета:
   • Белая + Белая: уходит 2 белых, кладется 1 черная. Количество белых уменьшается на 2, черных увеличивается на 1.
   • Черная + Черная: уходит 2 черных, кладется 1 черная. Количество черных уменьшается на 1.
2. Пара разного цвета:
   • Белая + Черная: уходит 1 белая, 1 черная, кладется 1 белая. Количество белых не меняется, черных уменьшается на 1.

Заметим, что количество белых перчаток при каждом действии либо уменьшается на 2, либо остается неизменным. Это значит, что четность количества белых перчаток никогда не меняется. Изначально белых перчаток 29 (нечетное число).

Рассмотрим, что происходит с последней перчаткой:

• Если последняя оставшаяся перчатка будет белой, значит, все остальные пары были извлечены так, что белых осталось четное количество, и в конце осталась одна белая.
• Если последняя оставшаяся перчатка будет черной, значит, все остальные пары были извлечены так, что белых осталось нечетное количество (или ноль, что четно), и в конце осталась одна черная.

Ключевой момент: когда достается пара разного цвета, уходит одна белая и одна черная, а кладется белая. Количество белых перчаток остается неизменным, а количество черных уменьшается на 1.

Если мы всегда будем доставать пару разного цвета, то количество черных перчаток будет уменьшаться на 1, а количество белых останется прежним.

Рассмотрим пример: 2 белых (Б), 1 черная (Ч).

• Б+Ч -> Кладем Б. Остается: 1Б.

Рассмотрим пример: 1 белая (Б), 2 черных (Ч).

• Б+Ч -> Кладем Б. Остается: 1Б, 1Ч.
• Б+Ч -> Кладем Б. Остается: 1Б.

Рассмотрим пример: 2 белых (Б), 2 черных (Ч).

• Б+Б -> Кладем Ч. Остается: 1Ч, 1Ч = 2Ч.
• Ч+Ч -> Кладем Ч. Остается: 1Ч.

Важно, что каждый раз, когда достается пара одного цвета (белых+белых или черных+черных), мы кладём в мешок черную перчатку. Это означает, что количество черных перчаток увеличивается на 1, если пара была белыми, или уменьшается на 1, если пара была черными. А количество белых перчаток уменьшается на 2.

Если мы достаем пару разного цвета, то уходит одна белая и одна черная, а кладется белая. Количество белых не меняется, количество черных уменьшается на 1.

Смотрим на количество белых перчаток. Оно всегда либо уменьшается на 2 (при Б+Б), либо остается неизменным (при Б+Ч). Оно никогда не увеличивается. Изначально белых перчаток 29 (нечетное число).

В конце останется одна перчатка. Если эта перчатка будет белой, значит, перед этим было четное количество белых перчаток. Если она будет черной, то перед этим было нечетное количество белых перчаток.

Поскольку количество белых перчаток меняется только на -2 или 0, его четность сохраняется. Изначально 29 белых перчаток (нечетное число). Значит, в любой момент количество белых перчаток будет нечетным. Следовательно, в самом конце, когда останется одна перчатка, это будет белая перчатка.

Проверка:

Пусть в мешке N белых и M черных перчаток.

1. Достали 2 белых. Ушло 2Б, пришло 1Ч. Стало N-2 белых, M+1 черных.

2. Достали 2 черных. Ушло 2Ч, пришло 1Ч. Стало N белых, M-1 черных.

3. Достали 1 белую и 1 черную. Ушло 1Б, 1Ч, пришло 1Б. Стало N белых, M-1 черных.

Обратите внимание на последний случай (3): ушла пара разного цвета, пришла белая. Количество белых перчаток не изменилось. Количество черных уменьшилось на 1.

Если последняя перчатка будет черной, значит, до этого было четное количество белых перчаток (т.к. при Б+Б уходит 2Б, а при Б+Ч кол-во Б не меняется). Но у нас изначально 29 белых, нечетное число.

Когда мы достаем пару белых перчаток, уходит 2 белых, кладется 1 черная. Количество белых уменьшается на 2. Черных увеличивается на 1.

Когда мы достаем пару черных перчаток, уходит 2 черных, кладется 1 черная. Количество черных уменьшается на 1.

Когда мы достаем пару белая + черная, уходит 1 белая и 1 черная, кладется 1 белая. Количество белых не меняется. Количество черных уменьшается на 1.

Важно, что количество белых перчаток всегда остается нечетным (29 -> 27 -> 25 ... или 29 -> 29 -> 29 ...).

Если в конце останется одна перчатка, и количество белых перчаток всегда нечетное, то эта последняя перчатка ОБЯЗАТЕЛЬНО будет белой.

Пример:

29Б, 31Ч

Достаем Б+Ч. Кладём Б. Остается: 29Б, 30Ч.

Достаем Б+Ч. Кладём Б. Остается: 29Б, 29Ч.

... (повторяем 29 раз) ...

Достаем Б+Ч. Кладём Б. Остается: 29Б, 2Ч.

Теперь у нас 29Б, 2Ч.

Достаем Ч+Ч. Кладём Ч. Остается: 29Б, 1Ч.

Теперь у нас 29Б, 1Ч.

Достаем Б+Ч. Кладём Б. Остается: 29Б.

В данном случае, если мы сначала делаем как можно больше пар Б+Ч, то остается 29Б и 2Ч. Затем достаем Ч+Ч, кладем Ч, остается 29Б и 1Ч. Затем достаем Б+Ч, кладем Б, остается 29Б.

Другой подход:

Смотрим на четность количества белых перчаток. Изначально их 29 (нечетное).

Операция 1 (пара одного цвета):

• 2Б -> кладется 1Ч. Ушло 2Б, пришла 1Ч. Количество белых уменьшилось на 2. Четность белых не изменилась.
• 2Ч -> кладется 1Ч. Ушло 2Ч, пришла 1Ч. Количество черных уменьшилось на 1. Количество белых не изменилось. Четность белых не изменилась.

Операция 2 (пара разного цвета):

• 1Б+1Ч -> кладется 1Б. Ушла 1Б, 1Ч, пришла 1Б. Количество белых не изменилось. Количество черных уменьшилось на 1. Четность белых не изменилась.

Таким образом, четность количества белых перчаток сохраняется на протяжении всего процесса. Изначально у нас 29 белых перчаток (нечетное число). Следовательно, количество белых перчаток всегда будет нечетным.

Когда в конце останется одна перчатка, она должна быть белой, так как количество белых перчаток должно остаться нечетным (то есть 1).

Ответ: Белая