13. Можно ли обойти все рёбра додекаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Додекаэдр — это выпуклый многогранник, состоящий из 12 граней, каждая из которых является правильным пятиугольником.
2. У додекаэдра 20 вершин и 30 ребер.
3. Каждая вершина додекаэдра имеет степень 3 (из каждой вершины выходит 3 ребра).
4. Поскольку каждая вершина имеет нечетную степень (3), то существует 20 вершин с нечетной степенью.
5. Согласно теореме Эйлера о графах, обход всех ребер графа (Эйлеров цикл) возможен тогда и только тогда, когда все вершины имеют четную степень. Обход с началом и концом в разных вершинах (Эйлеров путь) возможен, если существует ровно две вершины с нечетной степенью.
6. В случае додекаэдра имеется 20 вершин с нечетной степенью. Это означает, что ни Эйлеров цикл, ни Эйлеров путь невозможны.

Ответ: Нет, обойти все ребра додекаэдра, пройдя по каждому ровно один раз, невозможно, так как все 20 вершин имеют нечетную степень (3).